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數學 · 常微分方程 · 24

參數變易法Variation of parameters

已經有兩條齊次基底時，讓它們的係數隨 x 改變，就能把輸入累積成一條特解。

參數變易不用先猜輸入的有限函數族。它需要一組有效的齊次基底、非零的 Wronskian，以及允許積分的區間；得到定積分表示，本身就可以是完整答案。

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同一組基底，接住不同輸入

比較 y″+y=g(x)，固定 y(0)=y′(0)=0。切到 sec x 時，觀察解的區間為何必須停在兩條邊界之前。

零初值解（綠實線）sec x 的奇點（金虛線）
g=sec x 時，零初值解為 cos x ln(cos x)+x sin x，區間是 (−π/2,π/2)。g=1 時則為 1−cos x，可在全實軸使用。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
同一位置的解值
所選解的區間

先準備一組真正的基底

這個方法要先有一組真正獨立的齊次解。基底不對，後面全都不能用。

先備是Wronskian 與一般解結構、乘積律與定積分基本定理。從標準形開始：

y″+P(x)y′+Q(x)y=g(x)

假設 P、Q、g 在區間 I 上連續，且已知同一齊次方程的基底 y₁、y₂，W=y₁y₂′−y₁′y₂ 在 I 上非零。若原式最高階係數不是 1，必須先合法地除掉它；右側 g 也要一同除，不能漏掉。

齊次解是 C₁y₁+C₂y₂。為了讓右側不再為零，改試

yp=u₁(x)y₁(x)+u₂(x)y₂(x)

現在 u₁、u₂ 是待求函數。這個表示有兩個未知函數來描述一個 y，需要一個方便的表示方式；否則二階微分會帶來許多不必要的 u″ 項。

輔助條件沒有把某些 y 刪掉

中途加的那條輔助條件不是憑空多出來的限制，它只是把係數的寫法固定下來。

選擇 u₁′y₁+u₂′y₂=0。這不是猜測真實系統多一條限制，而是選定同一個 y 的表示方式。對任何 C² 函數 y，可以在每個 x 令 u₁、u₂ 解下面可逆的線性系統：

u₁y₁+u₂y₂=y
u₁y₁′+u₂y₂′=y′

因 W≠0，它們存在且可微。微分第一式，再減掉第二式，自然得到 u₁′y₁+u₂′y₂=0。因此這個輔助條件不排除 y，只把係數函數的自由表示固定下來。

兩次微分，留下兩條一階關係

把常數改成函數，微分兩次之後會留下兩條一階關係式，解出來就是特解。

  1. 先用輔助條件整理一次導數

    yp′=u₁y₁′+u₂y₂′

    含 u′ 的那一組已被設為零。

  2. 再微分並代入原式

    L[yp]
    =u₁′y₁′+u₂′y₂′
    +u₁L[y₁]+u₂L[y₂]

    y₁、y₂ 都是齊次解，所以最後兩項為零。

  3. 聯立兩個條件

    u₁′y₁+u₂′y₂=0
    u₁′y₁′+u₂′y₂′=g

    這次未知的是 u₁′、u₂′。行列式仍然是 W。

  4. 解出並積分

    u₁′=−y₂g/W
    u₂′=y₁g/W

    選固定 x₀ 作積分下限。積分常數造成的齊次項可以合併回 C₁、C₂。

I₁=∫x₀x (y₂g/W)(s) ds
I₂=∫x₀x (y₁g/W)(s) ds
yp=−y₁I₁+y₂I₂

這裡 I₁、I₂ 都是 x 的函數；(y₂g/W)(s) 表示 y₂(s)g(s)/W(s)。分開命名兩個積分，是為了看清外面的 y₁(x)、y₂(x) 不在積分裡；最後一行所有函數都取在 x，積分內則全部使用變數 s。此選擇給 yp(x₀)=yp′(x₀)=0。一般非零初值再由齊次項補上。

主例：待定係數表外的 sec x

完整算一次：算 W、寫出兩個積分、算積分、組成特解，再說清楚有效區間。

解 y″+y=sec x，y(0)=y′(0)=0，取包含 0 且輸入連續的區間 I=(−π/2,π/2)。基底 y₁=cos x、y₂=sin x，W=1，因此

u₁′=−sin x/cos x=−tan x
u₂′=cos x/cos x=1
u₁=ln(cos x)，u₂=x

在這個區間 cos x>0，且兩個係數函數在 0 為零，所以

y=cos x ln(cos x)+x sin x

獨立求導驗證，而不是只說「公式算出來」：

y′=−sin x ln(cos x)+x cos x
y″=−cos x ln(cos x)
+ sin²x/cos x+cos x−x sin x
y″+y=(sin²x+cos²x)/cos x
=sec x

初始值和導數皆為零；由係數與輸入在 I 連續，可知這是 I 上的唯一初值解。當 x 趨近兩側邊界，y 有有限極限 π/2，但 y′ 發散，所以即使畫面上的位移沒有無界增長，也不能把它延伸成穿越邊界的 C¹ 解；輸入 sec x 本身在邊界也沒有定義。

積分沒有簡單原函數，也能把答案講完整

積分算不出漂亮的公式也沒關係。一個定積分本身就已經把答案講完整了。

將右側換成 e−x²，仍用 cos x、sin x，零初值解可以合併成

y(x)=∫0x sin(x−s)e−s² ds

這裡不必硬求初等反導函數。由含參數積分的微分法則，第一個端點項 sin 0·e−x² 為零，故 y′=∫₀ˣ cos(x−s)e−s²ds；再微分得到

y″=e−x²−∫0xsin(x−s)e−s²ds
y″+y=e−x²

兩個積分在 x=0 都為零，驗證了初始資料。這個定積分形式對所有實數 x 有意義，已明確定義一條解。若為了畫圖而做數值積分，需要另外標示近似與誤差；不能把數值表格當成推導的替代品。本頁互動的兩種輸入均使用上面可直接計算的解析式。

試著檢查分母、輸入與初值

先檢查分母 W 會不會是零，再檢查方程有沒有先正規化。

1. 用參數變易重算 y″+y=1 的零初值解。

看完整推理

u₁′=−sin x、u₂′=cos x；從 0 積分得到 u₁=cos x−1、u₂=sin x。因此 y=(cos x−1)cos x+sin²x=1−cos x。y′=sin x、y″=cos x，所以原式為 1，初值皆零，與待定係數法一致。

2. 若基底誤選 eˣ、2eˣ，為什麼兩個積分公式失效？

看完整推理

W=eˣ·2eˣ−eˣ·2eˣ=0。兩條函數只差常數倍，初值矩陣不可逆，u₁′、u₂′ 的聯立系統不能按照這個公式求解。需要先找到同一齊次方程的第二條獨立解，不能把零分母當成一般積分奇點略過。

3. 原式是 2y″+2y=2sec x，代公式時 g 應是多少？

看完整推理

先除以非零的 2，得到 y″+y=sec x，因此 g=sec x，特解仍是正文的 cos x ln(cos x)+x sin x。若未正規化就把 g=2sec x 塞入單位最高階係數的公式，得到的 y 會放大兩倍，代回原式右側變成 4sec x，無法通過。

下一頁：外力與阻尼如何影響振動？

兩種找特解的方法都有了。接下來回到彈簧，看這些式子在講什麼現象。

兩種特解方法已能互相核對。下一頁回到彈簧、質量與阻尼的理想模型，解釋外力如何產生受迫振動，以及何時會有無界振幅、何時只有有限的頻率響應峰值。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。