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數學 · 常微分方程 · 20

二階線性微分方程Second-order linear equations

一個位置還不夠。當規則決定的是二階導數，初始斜率也會改變整條解。

從 y′=y 走到 y″+y=0，我們多了一項初始資料，也多了一個可以獨立調整的解方向。先弄懂兩條基底解為什麼夠用，再學怎麼把它們找出來。

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同一條規則，兩個初始資料

調整 y(0) 和 y′(0)。先固定位置，只改斜率，預測曲線離開 x=0 的方向。

合成解（綠實線）y₀ cos x（藍虛線）v₀ sin x（金虛線）
y″+y=0 的解 y=a cos x+b sin x 滿足 y(0)=a、y′(0)=b。兩項初始資料分別選定兩個係數。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
位置條件
斜率條件

線性仍然是對未知函數而言

二階說的是最多微分兩次。線性還是同一個意思：未知函數只能單獨、一次地出現。

先備是一階線性方程、乘積律與二階導數。一般二階線性式可寫為

a(x)y″+b(x)y′+c(x)y=f(x)

y、y′、y″ 只以一次方出現，沒有彼此相乘；係數可以隨 x 變動。y″+xy=0 是線性，y″+y²=0 則不是。最高階導數前面的 a(x) 必須在討論區間 I 上非零，才可除成標準形：

y″+P(x)y′+Q(x)y=g(x)
P=b/a，Q=c/a，g=f/a

本頁引用的存在唯一性結論要求 P、Q、g 在 I 上連續，初始點 x₀ 位於 I 內。此時指定 y(x₀) 與 y′(x₀)，有唯一一條定義在 I 上的解。不能只看「二階」兩字，就跨過 a=0 或係數奇點套用定理。

兩條解，分別記住位置與斜率

二階方程需要兩個初始資料：起點在哪裡，以及起點的斜率。少一個就選不出唯一答案。

對 y″+y=0，微分兩次的 cos x 與 sin x 都會變成自己的負數，因此它們都是解。令

y=a cos x+b sin x
y′=−a sin x+b cos x
y″=−a cos x−b sin x=−y

這已直接驗證任意常數 a、b 的組合仍滿足原式。在 x=0，cos 0=1、sin 0=0，因此 y(0)=a、y′(0)=b。若給 y(0)=1、y′(0)=2，就得到 y=cos x+2sin x；只給位置 1，則 b 還能任意改動，並沒有唯一選出一條解。

「位置／速度」是 x 代表時間時的物理解讀；一般 x 也可以是空間或別的自變數。二階導數決定斜率如何改變，故需要先知道起始斜率。它不是因為圖形恰好看起來像兩種波，才湊出兩個常數。

線性組合為什麼有效？

兩條解各乘一個常數再相加，還是同一條齊次方程的解。這叫疊加。

記 L[y]=y″+Py′+Qy，稱為微分算子：把函數送進去，輸出另一個函數。對常數 A、B，微分和乘係數都滿足

L[Ay₁+By₂]=A L[y₁]+B L[y₂]

因此若 L[y₁]=L[y₂]=0，組合仍為零。這叫疊加原理，但它此處說的是同一個齊次方程。如果 y₁、y₂ 都滿足 L[y]=g，它們相加會得到 2g，通常已換了方程。

非齊次問題也有可用的結構。已知某一個特解 yp，任意另一解 y 與它的差滿足 L[y−yp]=g−g=0。所以

全部解 = 一個特解 + 全部齊次解

例如 y″+y=1 有常數特解 yp=1，因此 y=1+a cos x+b sin x。若 y(0)=0、y′(0)=0，則 a=−1、b=0，解為 1−cos x。這個「特解」指右側指定輸入的一條解，不必已符合你要的初始條件。

Wronskian：兩個初值能否獨立調整？

Wronskian 是一個檢查工具：它不為零，就代表這兩條解真的能獨立配出兩個初值。

假設已找到同一齊次方程的兩條解 y₁、y₂。要用 A、B 配出指定的初值，必須解

A y₁(x₀)+B y₂(x₀)=y₀
A y₁′(x₀)+B y₂′(x₀)=v₀

這個二元線性系統的行列式就是 Wronskian：

W(x)=y₁y₂′−y₁′y₂

W(x₀)≠0 時，A、B 唯一存在。任意真正的解都能配到相同初值，而存在唯一性定理保證兩者必為同一條解；這樣才證明 A y₁+B y₂ 包含全部齊次解。cos x、sin x 的 W=cos²x+sin²x=1，所以可作一組基底。相反地，eˣ 與 2eˣ 雖寫成兩項，其實永遠只能合成一個倍數，不能提供兩個自由方向。

對同一個正規二階齊次線性方程，還可直接推導

W′=y₁y₂″−y₁″y₂
=−P(x)W
W(x)=W(x₀)exp(−∫x₀xP(s)ds)

所以 W 在 I 上要嘛處處非零，要嘛處處為零。後者配合唯一性可推出這兩條解線性相依。這個判準的前提不能省略成「任意兩個函數 W=0 就相依」。

一個 W=0 卻不相依的反例

工具都有適用範圍。這裡舉一個 W = 0 卻仍然獨立的例子，說明條件不能亂套。

取 y₁=x³、y₂=|x|³，在跨過 0 的區間上兩者都是 C²。x>0 時 y₂=y₁，x<0 時 y₂=−y₁，所以沒有同一個常數倍關係能涵蓋兩側；兩者線性獨立。然而分段微分可得 W 處處為零，包括 x=0。

這不推翻剛才的結論，因為兩者並非某個在整段具有連續標準係數的二階齊次方程的解。它們確實都滿足 xy″−2y′=0，但最高階係數 x 在 0 消失，除法後 P=−2/x 正好在那裡不連續。這個例子也顯示：一般函數與「同一個正規方程的解」是不同的判斷範圍。

試著用初值選一條解

先用初值把兩個常數算出來，再微分兩次代回原式檢查。

1. y″+y=0，y(0)=−1、y′(0)=2，完整驗證解。

看完整推理

由初值讀出 a=−1、b=2，故 y=−cos x+2sin x。一次微分得到 y′=sin x+2cos x，二次得到 y″=cos x−2sin x=−y，原式為零；在 0 的值與導數分別是 −1、2。係數全實軸連續，所以這是全實軸的唯一初值解。

2. y₁=1+cos x、y₂=1+sin x 都滿足 y″+y=1；y₁+y₂ 呢？

看完整推理

相加得 2+cos x+sin x，二階導數為 −cos x−sin x，所以 y″+y=2。相加不再滿足同一個右側 1。不過 y₁−y₂=cos x−sin x 滿足齊次方程，因為右側相減為零。

3. 已知兩條解 eˣ、e⁻ˣ 都滿足 y″−y=0，能配出任意兩個初值嗎？

看完整推理

W=eˣ(−e⁻ˣ)−eˣe⁻ˣ=−2≠0，且方程係數連續。因此任意 y(0)=a、y′(0)=b 可由 A+B=a、A−B=b 配出 A=(a+b)/2、B=(a−b)/2。相同初值的唯一性再保證它們張成全部解，不只是找到了兩條候選。

下一頁：基底解要從哪裡找？

知道需要兩條獨立解之後，下一個問題是：它們要從哪裡找？

現在知道兩條獨立解為什麼能承載二階齊次方程。下一頁把焦點放在常係數：指數函數微分後只多一個倍數，這個特性會把微分方程變成關於 r 的代數方程。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。