待定係數法Undetermined coefficients

先分齊次與特解，才開始猜

先把齊次解和特解分開，再開始猜。猜的是特解的「形狀」，係數留給方程決定。

先備是y=y_h+y_p 與常係數基底解。本頁處理常係數線性方程 L[y]=g(x)。先解 L[y_h]=0，再找任何一條滿足右側 g 的特解 y_p，相加得到全部解；初始條件最後才用來選齊次常數。

為什麼能猜？如果 g 是多項式，微分只會降低次數；如果是 e^αx，微分只多乘 α；sin βx 與 cos βx 則會互相切換。有限次的微分不會產生無限多種新形狀，因此可以用有限個未知係數配平。

這類輸入以及它們的有限和，是標準適用範圍。試解中要放入所需的完整多項式項與正弦、餘弦配對，再處理重合；不能因右側只有 sin 就斷言 cos 項不會被微分產生。

基本例：原方程會決定兩個係數

右邊是多項式，試解就放一個完整的多項式——常數項不能先省略。

延續特徵方程頁，解 y″+3y′+2y=2x+4。齊次部分是 C₁e⁻ˣ+C₂e⁻²ˣ。右側是一階多項式，先試 y_p=Ax+B：

1. 算出導數

   y_p′=A，y_p″=0

   截距不能先省略，因為一階導數也會帶來常數項。

2. 按相同次方配平

   2Ax+(3A+2B)=2x+4
   2A=2，3A+2B=4

   這是對每個 x 的恆等式，所以 x 項和常數項各自相等。

3. 求係數並驗算

   A=1，B=1/2
   y_p=x+1/2

   代回左側 0+3+2x+1=2x+4。不是只在某一點配平。

故全部解為 C₁e⁻ˣ+C₂e⁻²ˣ+x+1/2。若要求 y(0)=0、y′(0)=0，則 C₁+C₂=−1/2、−C₁−2C₂=−1，得到 C₁=−2、C₂=3/2。特解本身不需要先滿足零初值。

正弦輸入：把會互相微分的形狀一起帶上

sin 和 cos 微分之後會互換，所以要一起帶上。就算右邊只有 cos 也一樣。

看 y″+y=cos(2x)，齊次解是 A cos x+B sin x。試 y_p=a cos(2x)+b sin(2x)，得到

所以特解是 −cos(2x)/3；b=0 是代回的結果，而不是事前假設所有正弦係數都可省略。對此例無一階導數的結構，確實也可利用對稱性只試餘弦，但完整配對更容易看清一般方法。

重合時，為什麼要乘上 x？

如果猜的形狀本來就是齊次解，代進去永遠得到 0。這時候要多乘一個 x。

現在把輸入頻率改成 1：y″+y=cos x。試 a cos x+b sin x 時，左側無論如何都是零，沒有任何 a、b 能產生右側 cos x。因為整個試解空間已在齊次解裡，調係數不會把零變成輸入。

試 y_p=x(a cos x+b sin x)，令括號為 v，則 v″+v=0，乘積律給出

配成 cos x，需要 a=0、b=1/2，故 y_p=(x/2)sin x。完整導數是

這次特解剛好有零初值，但那是本例的結果。它的振幅會成長，下一頁之後會從外力角度解讀。

不是永遠只乘一次

重合幾次，就要乘幾次 x。乘不夠，還是會被算子消掉。

用 D 表示 d/dx。對 e^αxv，有 (D−α)[e^αxv]=e^αxv′。若特徵根 α 的重數是 s，算子中有 s 個 (D−α) 因子，常數或低次多項式的試解可能被連續消去 s 次。因此標準指數多項式試解要額外乘 x^s；對正弦配對，檢查對應複根 α+iβ 的重數。

例如 y″−2y′+y=eˣ，根 1 是二重根。寫 y=eˣv，左側化成 eˣv″。要讓它等於 eˣ，須 v″=1，可取 v=x²/2。因此 y_p=(x²/2)eˣ；只乘一次的 axeˣ 仍被算子消掉。

若 g=sec x、ln x 或 e^−x²，它們不屬於上述標準有限族，不能靠同一張試解表保證成功。這不表示沒有解或沒有別的巧合猜法；下一頁的參數變易能在已知齊次基底後，以積分系統地表示特解。

試著判斷重合，再求係數

先判斷有沒有重合，再決定試解長什麼樣。順序反了就會白算一輪。

下一頁：把常數改成函數，讓積分決定它

這個方法只對特定形狀的輸入有效。下一頁的方法沒有這個限制。

待定係數依靠輸入的形狀。參數變易會沿用同一組齊次基底，但讓它們前面的係數隨 x 變化；用一個輔助條件整理導數後，特解就能由兩個積分給出。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Nonhomogeneous equations：核對特解加齊次解、有限試解族與重合修正。
• Lebl · Higher-order linear ODEs：核對根重數與微分算子的關係。