一階線性微分方程First-order linear equations

先看未知函數怎麼出現

「線性」說的是未知函數怎麼出現：只能單獨、一次。它跟解的圖形是不是直線沒有關係。

「線性」修飾的是方程對 y、y′ 的依賴，不是在說解的圖形是一條直線。一階線性微分方程可寫成

例如 (1+x²)y′+sin(x)y=e^x 仍是線性；係數隨 x 變，不妨礙 y 與 y′ 各自只出現一次。反過來，y′+y²=x、yy′=1、y′+sin(y)=x 都不是線性。

若最高導數已能單獨解出，方便把它整理成標準式：

別把「除以 a」當成沒有條件的排版。對 xy′−y=x，標準式是 y′−y/x=1，目前的方法必須先選 x>0 或 x<0。原式在 x=0 沒有除零，卻退化成 y(0)=0；是否能穿過、是否仍唯一，需要回到原式另外討論。

同一個線性規則，零輸入與有輸入

總解可以拆成兩塊：一塊負責「外面給的輸入」，一塊負責「起點的差異」。

暫時把左側記成一個操作：L[y]=y′+p(x)y。這個記號只表示「先微分，再加上 p 倍的函數」，沒有多引進一種未知量。對常數 A、B，微分的線性給出

當 q=0，方程稱為線性齊次；當 q 不恆為 0，稱為非齊次。這和上一頁的 y′=F(y/x) 是兩種不同的「齊次」用法。

1. 先找一個能處理輸入的特解

   L[yₚ] = q

   下標 p 表示 particular。它只要滿足方程即可，暫時不必符合你的初值。

2. 用差值把輸入消掉

   L[y − yₚ] = q − q = 0

   任意解 y 與特解 yₚ 的差，都服從齊次方程。

3. 因此總解可寫成兩部分

   y = yₚ + yₕ，L[yₕ] = 0

   一個固定特解，加上所有齊次解，就涵蓋所有原方程的解。各部分須在同一區間上有定義。

完整例題：y′+y=2，y(0)=1

完整算一次：先找一個特解，再解掉輸入求齊次解，最後用初值把常數定下來。

1. 看出一個常數特解

   yₚ = 2；yₚ′ + yₚ = 0 + 2 = 2

   外界項是常數，先試不變的函數。這次正好成功，但不是所有 q 都有常數特解。

2. 解對應的齊次方程

   yₕ′ + yₕ = 0 ⇒ yₕ = Ce^−x

   這是已學過的可分離方程；C=0 與負的 C 都保留。

3. 加起來並套用初值

   y = 2 + Ce^−x
   1 = 2 + C ⇒ C = −1

   得到 y=2−e^−x。係數 p=1、q=2 在整條實數軸連續，這條解也在所有實數 x 上成立。

4. 把導數代回原式

   y′ = e^−x
   y′+y = e^−x+2−e^−x = 2

   另外檢查 y(0)=2−1=1。方程與初值是兩件都要通過的事。

如果希望拆分時也保留初始資訊，可以改寫為 y=y₀e^−x+2(1−e^−x)。第一項滿足零輸入方程並帶著初值 y₀；第二項滿足有輸入方程，但在 x=0 為零。這就是上圖兩條虛線的意思。

熟悉的例子，現在有了第二種身分

同一個例子換個角度看：先前用分離變數解過的題目，現在多了第二種身分。

y′=y 等於 y′−y=0：線性齊次，p=−1，解 Ce^x 會隨 x 增大而成長。齊次部分不一定衰減；係數的符號有實際影響。

上一頁的 y′=1+y/x 同時可用比例代換，也是一階線性方程 y′−y/x=1。兩種方法得到同一個 y=x(ln|x|+C)，各自限於選定的半軸。分類不是把每題塞進互斥的抽屜，而是辨認可用工具。

若 p、q 在包含初始點 x₀ 的開區間 I 上連續，一階線性初值問題在整個 I 上有唯一解。下一頁的積分公式會直接展示這件事；它不保證端點外也能延伸，更不保證每個積分都能寫成初等函數。例如 y′+2xy=1 的公式會遇到 ∫e^x² dx，保留定積分仍然是精確的解。

試著把結構與計算一起用

先判斷結構，再動手算；選對工具，能讓後面的計算更清楚。

還缺一個系統化找特解的方法

特解不能每次都靠眼力猜。下一頁在 p、q 連續的區間上，用積分公式系統地求解。

剛才的常數特解是看出來的。當 q(x) 比較複雜，我們需要一個不靠猜常數的流程：乘上一個適當函數，把左側變成乘積的導數。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Linear equations and the integrating factor：一階線性形式、乘積微分與連續係數下的解。