每一項都來自一個力
牛頓第二定律把質量乘加速度，與阻尼力、彈簧回復力及外力連在一起。
先備是根與自由解、正弦特解。令 y(t) 表示偏離靜態平衡位置的位移，正方向固定。理想彈簧回復力為 −ky，黏滯阻尼力為 −cy′，外力為 F₀cos(ωt)。牛頓第二定律給出
my″+cy′+ky=F₀cos(ωt)
m>0 是質量（kg），k>0 是剛度（N/m），c≥0 是阻尼（N·s/m），F₀ 是力振幅（N），ω 是外力角頻率（rad/s）。三個左側項的單位都是 N。若是垂直彈簧，y 已從受重力後的平衡位置量起，常數重力已在平衡式中抵消。
模型假設單一自由度、位移在 Hooke 線性範圍、阻尼與速度成正比、係數固定且外力理想正弦；忽略乾摩擦、間隙、材料非線性與參數變動。以下結論是這些假設的數學結果，不是已測量的設備表現。
自由振動先決定暫態的形狀
先把外力關掉，看自由解的形狀。正阻尼時這部分會逐漸消失；零阻尼時則不會。
去掉外力，定義無阻尼固有角頻率 ω₀=√(k/m)，再令 γ=c/(2m)，得到 y″+2γy′+ω₀²y=0。特徵根為
c=0 時，解為 A cos(ω₀t)+B sin(ω₀t)，振幅不衰減。c>0 時，欠阻尼有衰減振盪，臨界阻尼有 (A+Bt)e−γt，過阻尼有兩個負實根指數；在 m,k>0 的前提下，三種正阻尼的自由成分都趨近零。
欠阻尼的自由振盪角頻率是 ωd=√(ω₀²−γ²)。它與無阻尼 ω₀ 不同，稍後的受迫振幅峰值頻率又是另一個量。
也能從能量看見阻尼的作用。自由模型的 E=(m/2)(y′)²+(k/2)y² 滿足 E′=y′(my″+ky)=−c(y′)²≤0。有外力時則多出 F₀cos(ωt)y′；能量可以被輸入，也可以被阻尼耗散。
零阻尼：失效的分母，改由另一種特解接手
沒有阻尼又剛好踩中固有頻率時，振幅會一直長大——公式裡的分母正好是零。
令 c=0，先取 ω≠ω₀。待定係數給出週期特解 F₀cos(ωt)/[m(ω₀²−ω²)]。若初值皆零，加上對應的自由成分後，總解為
/[m(ω₀²−ω²)]
固定一個不相等的 ω，這個解有界；兩個頻率很接近時會出現慢慢起伏的拍。自由成分沒有阻尼，不會隨時間消失，所以週期特解未必是總解的長期極限。
當 ω=ω₀，上式不能直接除以零。原式此時與齊次解重合，改用 t sin(ω₀t) 的形式。由
=2ω₀cos(ω₀t)
得到零初值解
沿 sin(ω₀t)=±1 的時間序列，位移絕對值隨 t 增大而無界，這才是這個理想無阻尼模型的無界共振。不能用「分母很小」或一張有限時間的圖單獨作證。互動的 m=k=F₀=1，正好化為 (t/2)sin t。
正阻尼：週期特解與有限振幅
有阻尼的時候，一開始那陣子會消失，最後只剩下跟著外力節奏走的那一部分。
c>0 時，試 yp=a cos(ωt)+b sin(ωt)，令 K=k−mω²。代回並配平：
Kb−cωa=0
a=F₀K/[K²+(cω)²]
b=F₀cω/[K²+(cω)²]
對 ω>0，分母為正，所以可寫成 yp=A cos(ωt−δ)，其中
取 F₀>0 時 A 是正振幅；相位 δ 可由 a=A cos δ、b=A sin δ 決定，需保留正確象限。總解 y=yh+yp 仍要符合初值。因正阻尼的 yh 趨近零，總解才會趨近這條週期特解。
主例取 c=0.4、ω=1，其餘常數如圖，K=0、a=0、b=2.5，故週期特解為 2.5sin t。為了零初值，還要加上初始速度 −2.5 的自由成分：
y=2.5sin t
−(2.5/ωd)e−0.2tsin(ωdt)
在 t=0 位移為零，兩項導數 2.5 和 −2.5 抵消。第二項滿足齊次方程，第一項代入 y″+0.4y′+y 得 cos t，因此總解通過原式與初值。藍色週期曲線與綠色總解的早期差別，就來自這個自由成分。
有阻尼不代表一定有正頻率的位移峰值
「會受迫振動」和「有正頻率的位移共振峰」是兩件事。阻尼夠大時，後者不會出現。
現在固定 m、c、k、F₀，改變外力頻率，問 A(ω) 在哪裡最大。這個問題與「時間趨向無限時位移是否無界」不同。令振幅分母平方為 D(ω)：
D′=2ω[2m²ω²+c²−2mk]
在 ω>0 要有內部最小值，需要
條件：0 < c < √(2mk)
此時 A 有正頻率峰值。若 c≥√(2mk)，D 在正頻率上遞增，A 的最大值出現在 ω=0 的靜態極限，沒有這種正頻率的位移共振峰。這不是說系統不會受迫運動。
圖中 m=k=1，c=0.4 時 ωr≈0.959，而 ωd≈0.980、ω₀=1；三個頻率接近卻不同。c=1.6 雖仍屬欠阻尼（c<2），卻已超過 √2，因此沒有正頻率的位移振幅峰。此處只討論位移振幅，不可直接套成速度、功率等不同觀察量的峰值結論。
把兩張圖對起來：時間圖固定 ω，看 y(t) 隨時間變化；頻率圖固定系統參數，把每個 ω 的週期特解振幅 A(ω) 放在一起。頻率圖上一個點，對應時間圖一整條週期特解的振幅，不是某一時刻的位移。零阻尼時自由成分不消退，更不能把 A 直接稱為總解的長期振幅。
試著說清楚是哪一種共振
講共振要說清楚是哪一種：振幅無限長大，還是掃頻時出現一個最大值。
1. m=k=F₀=1、c=0、ω=2，零初值解是否無界？
先看一個提示
先比較外力頻率 2 和固有頻率 1。用待定係數找一個特解後，還要加哪個齊次解，才能滿足兩個零初值？
看完整推理
由非共振公式，y=(cos t−cos 2t)/3。兩個餘弦絕對值都不超過 1，所以 |y|≤2/3，固定這個頻率時有界。y(0)=0，導數也為零。沒有阻尼不代表每個外力頻率都產生無界共振。
2. m=k=1、c=1，求位移峰值頻率，並與自由振盪頻率比較。
先看一個提示
先檢查 c<√2 是否成立，再分別使用 ωᵣ 和 ω_d 的定義。它們一個來自掃頻的峰，一個來自自由振動的根。
看完整推理
1<√2，存在正頻率位移峰：ωr=√(1−1/2)=1/√2≈0.707。自由欠阻尼角頻率 ωd=√(1−1/4)=√3/2≈0.866，無阻尼固有頻率為 1。它們回答三個不同的問題。
3. 對 c=0.4、ω=1，直接把 y=2.5sin t 稱為零初值解，漏了什麼？
先看一個提示
方程成立、初始位置正確，仍不夠。先算這個候選在 t=0 的速度，再找能補上差值的齊次解。
看完整推理
它確實滿足 y″+0.4y′+y=cos t，也有 y(0)=0，但 y′(0)=2.5，並非零。要加上自由解 −(2.5/√0.96)e−0.2tsin(√0.96 t)，才能使初始速度抵消。正阻尼讓補上的成分逐漸消失，所以後期兩條曲線才接近。
下一頁：從兩個初值，推廣到 n 個
兩個初值推廣到 n 個：高階方程需要幾個條件、幾條基底解？
振動模型把二階線性方程的結構串在一起了。下一頁回到純數學，檢查三階例題需要的第三項資料，再把根、重數與獨立解推廣到一般高階線性式。
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。
- Jiří Lebl · Mechanical vibrations：核對理想質量彈簧阻尼模型與自由根分類。
- Lebl · Forced oscillations and resonance：核對無阻尼共振、正阻尼週期響應及位移峰值存在條件。