重根與複根Repeated and complex roots

重根不能用兩份相同的函數湊數

兩個根變成同一個時，同一條指數寫兩次還是只有一個方向。第二條解要另外造出來。

先備是特徵方程、乘積律及複數 i²=−1。若特徵式為 (r−r₀)²=0，原方程除去最高階非零常數後可寫成

已知 e^r₀x 是一條解，再寫 C₁e^r₀x+C₂e^r₀x 只會合成 (C₁+C₂)e^r₀x，仍只有一個方向。讓原本的常數係數變成函數 v(x)，試 y=v e^r₀x：

1. 展開兩次導數

   y′=(v′+r₀v)e^r₀x
   y″=(v″+2r₀v′+r₀²v)e^r₀x

   先保留所有乘積律的項，才能看見後面如何抵消。

2. 代回重根方程

   y″−2r₀y′+r₀²y
   =v″e^r₀x=0

   v 與 v′ 的項恰好抵消；由指數非零可得 v″=0。

3. 積分兩次

   v=C₁+C₂x
   y=(C₁+C₂x)e^r₀x

   第二條解 xe^r₀x 來自 v 的線性項，並不是任意加上的裝飾。

W(e^r₀x, xe^r₀x)=e^2r₀x≠0，所以兩條解確實獨立。

重根例：初始斜率為零，仍需要 x 那項

重根的第二條解要多乘一個 x。少了它，就配不出任意的初始斜率。

解 y″+2y′+y=0，y(0)=1、y′(0)=0。特徵根 r₀=−1，因此 y=(A+Bx)e⁻ˣ。由 y(0)=A=1，以及 y′(0)=B−A=0 得 B=1：

只保留 e⁻ˣ 雖然也是解，卻具有 y′(0)=−1，並不符合本題。初始斜率為零不表示某個基底的係數也一定為零；必須實際求導。

複數解怎麼變成實數曲線？

根算出來是複數不用怕：用 Euler 公式拆開，就會變成 cos 和 sin 的實數解。

實係數多項式的非實根成對出現，寫成 α±iβ，其中 β>0。Euler 公式把 e^iθ 寫成 cos θ+i sin θ，因此

這個複值函數通過線性實係數原式，就表示它的實部和虛部各自通過：把原式拆成實部與虛部，兩者都必須為零。所以可選實函數基底

一般實解是 e^αx[A cos(βx)+B sin(βx)]。若 R=√(A²+B²)，括號可寫成 R cos(βx−δ)，其中 A=R cos δ、B=R sin δ。α 決定指數包絡，β 決定振盪的角頻率；週期是 2π/β，兩者不能混為一個數字。R=0 時是零解，不需要為它指定相位。

把圖中的複根解算完

完整算一次：找根、寫成實數形式、用兩個初值定係數、再代回檢查。

當 d=1/2，方程為 y″+y′+y=0，根為 −1/2±i√3/2。因此令 β=√3/2：

由 y(0)=1 得 A=1；一次微分在 0 得 −A/2+βB=0，所以 B=1/√3。完整初值解為

若寫 y=e^−x/2v，代回原式得到 e^−x/2[v″+(3/4)v]=0，而這個 v 的二階導數恰為 −(3/4)v，驗證完成。真正包絡為 ±(2/√3)e^−x/2；圖上的 e⁻ᵈˣ 僅是指數參考，不能少掉由初值決定的振幅倍數。

對圖中的一般 d，根是 −d±√(d²−1)。d<1 為複根，d=1 為重根，d>1 為相異負實根。後面的振動頁會把 d 與質量、阻尼常數的單位連起來；本頁先理解解形狀。

振盪、衰減與零點是不同判斷

「會振盪」「會衰減」「會不會穿過零」是三個不同的判斷，不能混成一句話。

複根不等於衰減：α=0 時保持振幅，α>0 時振幅成長，α<0 才衰減。反過來，兩個負實根的組合也不保證每個初始條件都單調；例如前頁的 e⁻ˣ−e⁻²ˣ 會先上升再下降。圖中「不穿過零」只描述這組固定的初值，不是所有根類型的無條件定義。

當 β→0，sin(βx) 自己會趨近零，但 sin(βx)/β→x。這也給出重根額外 x 因子的直覺：兩個越來越接近的解方向要重新縮放，才能留下第二個獨立方向。實際重根解已在前面由 v″=0 證明，這個極限是補充理解。

試著從初值分辨係數

從初值反推係數：先看形狀屬於哪一類根，再動手算。

下一頁：右側有輸入時，怎樣找特解？

齊次的三種情況都齊了。接下來右邊要放進輸入。

三種根的基底現在齊了。接下來使用 y=y_h+y_p 的結構，在右側出現多項式、指數或正弦時選擇合適的試解；若試解剛好已是齊次解，就需要處理重合。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Constant-coefficient second-order linear ODEs：核對重根、Euler 公式與複根實解。
• Lebl · Mechanical vibrations：核對固定正係數下的根與衰減分類。