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數學 · 常微分方程 · 07

隱式解與解的區間Implicit solutions and solution intervals

寫出一個公式，還要回答它在哪一段才是解。

延續分離法，仔細處理對數絕對值、選支與奇點。同一條隱式曲線可能含有多個函數分支，同一個公式也可能分屬不相連的解段。

系列目錄 · 07／26

另一段曲線，符合原來的初值嗎？

先猜兩段能否接起來，再勾選另一支。切換半圓例時，改變初值正負，看看哪一支被選中。

符合初值的精確解另一段／支（虛線）排除點／奇點
y′=y²、y(0)=1 的解 1/(1−x) 只在 (−∞,1) 上延續此初值；y′=−x/y 的關係 x²+y²=4 則由 y(0)=±2 選擇上下半圓，區間均為 (−2,2)。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
目前初值
最大解區間

顯式與隱式：兩種表示方式

答案不一定寫得成 y = ⋯。有時只能先給出 x 和 y 的關係式，再從裡面挑出一段能當函數的曲線。

顯式表示把 y 單獨寫在一邊，例如 y=√(4−x²)。隱式表示則給 x、y 的關係，例如 x²+y²=4。後者本身是一條曲線的條件，還要選出一段可微的函數 y(x)，才是我們在 ODE 中使用的解。

因此「有個等式成立」不是驗解的終點。圓的上半、下半都滿足同一關係，整個圓卻不是單值函數 y(x)：同一個 x 通常對應兩個高度。

此頁變數無因次。初值問題要附的區間，是包含初始位置的連通開區間；在其中函數可微，原方程有定義且成立。「最大」指不能再以同一條解向外延伸；與繪圖窗多大無關。

完整隱式例：從方程得到半圓

同一個關係式裡包著好幾段解。初始條件決定你走的是哪一段，端點也要一起交代。

y′ = −x/y，  y(0)=2原式先要求 y≠0。

  1. 保留原限制，再乘回 y

    y y′ = −x，y≠0

    乘完仍記住原方程在 y=0 無定義，不能擴張成另一個問題。

  2. 認出鏈鎖律後積分

    d(y²/2)/dx=−x ⇒ y²/2=−x²/2+C

    右側積分為 −x²/2；y 是隨 x 改變的函數。

  3. 用初值決定常數

    x²+y²=C₂；0²+2²=4 ⇒ C₂=4

    得到隱式關係 x²+y²=4。

  4. 初值選支

    y=+√(4−x²)，−2<x<2

    y(0)=2 選正號；負號給 −2，不符合初值。選定區間內 y>0，不會突然換號。

  5. 以隱式微分代回

    2x+2y y′=0 ⇒ y′=−x/y

    這一步仍用到 y≠0。也可直接微分正平方根得到 −x/√(4−x²)。

  6. 核對兩個端點

    x=±2 ⇒ y=0

    原式分母為零，顯式曲線也失去有限斜率。兩端不能包含，最大區間為 (−2,2)。

若把初值改成 y(0)=−2，常數仍是 4，但選的是負平方根。兩支不能在端點繞過去形成同一個 y(x) 解：除了單值問題，原方程在接點也沒有定義。

一般關係 F(x,y)=C 若在該點附近連續可微，且在一個滿足關係的點 Fy≠0，隱函數定理可以在附近選出可微的 y(x)。此例 Fy=2y；端點條件失效，但失效本身不總是「無解」證明。本例另由原式除零直接判定。

對數裡的絕對值不能省

積分 1/y 得到的是 ln|y|，絕對值不能省：它把正的一支和負的一支分開處理。

對 y≠0，反導函數是 ∫dy/y=ln|y|+C。理由可分兩支核對：

y>0：d ln(y)/dy = 1/yy<0：d ln(−y)/dy = (−1)/(−y) = 1/y

ln y 只允許 y>0，會漏掉負解；ln|y| 則在兩側各自適用，但依然排除 y=0。取指數得到 |y|=eCeF(x) 後，右側恆正；eC 不可能等於零。非零解可把符號併入 A=±eC，零解必須另外由原式補回，不能聲稱它來自某個有限 C。

前頁 y′=2xy 的 A∈ℝ 是這三部分合併後的結果：正解、負解、另驗的零解。每一個 A 在整條實數軸上給一個解，並不表示所有分離法例子都如此。

完整區間例：y′=y²，y(0)=1

解的有效範圍不是畫面邊界決定的。這一題到 x = 1 就真的結束了，不是圖畫不下。

  1. 先保留平衡解

    y=0

    它符合方程，但不符合初值 1。此初值附近可在 y≠0 分離。

  2. 分離並積分

    y′/y²=1 ⇒ −1/y=x+C

    因為對 y 微分 −1/y 得 1/y²；這裡不會出現 ln|y|。

  3. 代入初值

    −1/1=0+C ⇒ C=−1

    所以 −1/y=x−1，解出 y=1/(1−x)。

  4. 驗方程、初值

    y′=1/(1−x)²=y²；y(0)=1

    在 x≠1 有效；初值在奇點左側。

  5. 選包含 0 的連通區間

    I=(−∞,1)

    不能寫成所有 x≠1 就結束，因為那是兩段不相連集合。

  6. 證明無法向右延伸

    x→1⁻ 時 y→+∞

    任何可微延伸都必須連續，因而有有限 y(1)；發散排除此可能。

在 (1,∞) 上，同一公式也滿足方程；它是另一段負解，和初值 y(0)=1 的解分開。若硬把兩段一起稱為此初值的解，就掩蓋了無法跨過 x=1 的事實。

改成 y(0)=−1，計算得到 y=−1/(1+x)，最大區間是 (−1,∞)。奇點位置不是方程唯一指定，還和初值有關。y(0)=0 則給零解，整條實數軸都可用。

檢查原式，而不只檢查最後一行

檢查答案要回到原方程，不能只看最後一行的等式對不對。

1. y′=−x/y，y(0)=1 的隱式關係、解支與區間？

看完整推理

積分得 x²+y²=C，初值給 C=1。選正支 y=√(1−x²)，I=(−1,1)。微分給 y′=−x/y，初值正確；兩端 y=0 使原式無定義，所以不能包含。

2. y′=y²，y(2)=−1，同一公式 1/(1−x) 可以用嗎？

看完整推理

可以，但此初值位於奇點右側。代 x=2 得 −1，導數也等於 y²；最大區間為 (1,∞)。它與 y(0)=1 選中的左側區間不同。

3. 由 ln|y|=x+C，能用 eᶜ=0 取得 y=0 嗎？

看完整推理

不能，任何有限實數 C 的指數都大於 0。要回到產生此式的原方程檢查零函數；若原式有 1/y，零可能根本不是解。因此「補零解」也不能盲目套用。

從解的區間，走向整體行為

一個完整的答案包含四件事：原方程、初值、選了哪一支、以及有效區間。

現在每個答案都應帶著原方程、初值、解支與有效區間。下一頁遇到斜率只依賴 y 的方程時，我們會先用一條相線判斷解往哪裡走，再用解析式核對。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。