三個問題，要分開回答
「有解嗎」「只有一條嗎」「能撐多遠」是三個不同的問題，答案可以一個是、一個不是。
初值問題寫成 y′=f(x,y)、y(x₀)=y₀。x₀、y₀ 是給定的起點；f 是給定的斜率規則。存在問「至少有一個函數嗎」，唯一問「同一起點能否有不同函數」，全域存在還問「能否延伸到指定的整段時間」。
我們找的是在包含 x₀ 的開區間上可微、滿足方程及初值的函數。只畫出一條數值折線，既不能證明唯一，也不能排除另一條沒有被算出的曲線。三個問題必須靠方程條件或嚴格計算分別回答。
一個可檢查的局部定理
定理給的是一張檢查表：只要規則在起點附近夠平順，就保證附近有唯一一條解。
以下引用存在唯一性定理的常用充分條件版本，這裡不證明一般定理：
取一個以 (x₀,y₀) 為內點的開矩形。若 f(x,y) 與偏導數 fy(x,y) 都在該矩形存在且連續，則有某個 h>0，使初值問題在 x₀−h<x<x₀+h 上存在唯一解（取 h 足夠小，使解留在矩形內）。
fy 表示固定 x，只對 y 微分，不是沿著解曲線的總導數。例如 f=2xy 時 fy=2x；f=y² 時 fy=2y。要檢查的是起點周圍一整片區域，不只是起點的一個數。
只假設 f 在起點附近連續，局部存在已有保證（Peano 存在定理）；但唯一性還需要額外控制。常用的更一般版本是 f 對 y 局部 Lipschitz：在小矩形內有固定 L，使 |f(x,u)−f(x,v)|≤L|u−v|。它限制兩個相近高度的斜率差不能放大得毫無上限。連續的 fy 是便於檢查的充分條件，不是唯一的入口。
把熟悉例子寫成 f
y′=y；f(x,y)=y任何起點附近，f 都連續。
固定 x 對 y 微分
fᵧ(x,y)=1偏導數也處處連續，所以每個初值都有局部唯一解。
全域再另行核對
y(x)=y₀ ex−x₀公式在所有有限實數 x 都有定義，且代回成立。這才補上此例的全域存在；不是把「局部」偷換成「永遠」。
反例：同一點真的可以有很多條解
同一個起點真的可能長出好幾條解。這不是算錯，是這條規則本身允許的。
回到第二頁提過的例子，這次完整檢查：
零函數顯然滿足兩側都為 0。再固定任何 a≥0，定義等待解：
在等待區檢查
x<a：yₐ′=0，3(∛yₐ)²=0兩側一致。
在出發後檢查
x>a：yₐ′=3(x−a)²右側的立方根是 x−a，平方乘 3 也得到相同結果。
接點不能漏
x=a：左右函數值都是 0；左右導數都是 0右側差商 h³/h=h²→0，左側差商為 0。因此接點可微且仍滿足原方程。
確認不同但同初值
a≥0 ⇒ yₐ(0)=0例如 a=0 與 a=1 在 x=2 分別為 8 與 1，已直接證明它們不同。
這裡 f 連續，所以解的存在並不意外；但 fy 在 y=0 不存在有限值。更直接看，|f(x,ε)−f(x,0)|/|ε|=3ε−1/3（ε>0），在 ε→0 時無界，無法找到同一個 L。
不是因為定理不能用，就宣布不唯一。真正的不唯一證據，是剛才寫出了不同解並逐段代回。這些只是足夠作反例的一族，不宣稱已列盡所有解。
條件失效，不等於結論相反
檢查表沒通過，只代表「這個方法保證不了」，不代表「一定會有很多條解」。
比較 y′=|y|、y(0)=0。fy 在零處同樣不存在，但由反三角不等式：
它對 y 滿足 L=1 的 Lipschitz 條件。因此較一般的定理仍保證唯一，而 y=0 已是解，便是此初值的唯一解。這個例子拆開了「某種檢查法沒通過」和「唯一性真的失敗」。
也可能根本無解。例如原式 x y′=1，要求在含 x=0 的區間成立；代 x=0 立即得到 0=1。這是矛盾證明。把它除成 y′=1/x 會看見奇點，但不能藉此把初始點偷偷換掉。
光滑的規則，也可能有限時間發散
規則再平順，也只保證「附近」。解仍可能在有限的位置就衝到無限大。
考慮 y′=y²、y(0)=1。f=y² 與 fy=2y 處處連續，局部唯一性沒有問題。候選解與驗證為：
寫出並檢查初值
y(x)=1/(1−x)，y(0)=1求法在後面的可分離／區間頁逐步展開；此處先驗解。
檢查導數
y′(x)=1/(1−x)² = y(x)²在 x≠1 時成立。含起點 0 的連通區間是 (−∞,1)。
觀察右端
x→1⁻ ⇒ y(x)→+∞沒有有限 y(1) 能讓它連續延伸，更不用說可微。方程本身沒有壞掉，是這條解離開了所有有限高度。
x>1 的同一公式另有一段曲線，但不通過 (0,1)，也不能跨過發散點拼接。局部定理保證起步，不保證無限旅程；下一頁開始學求解，接著會把區間問題徹底拆開。
先說保證了什麼，再說尚未知道什麼
回答時要分清楚：哪一部分是定理保證的，哪一部分只是圖上看起來像。
1. f 與 fᵧ 在整個平面連續，能推論每個解都存在於全部實數嗎？
看完整推理
不能。y′=y²、y(0)=1 就是反例，解在 x=1 發散。條件可以在每個有限點保證局部存在唯一，但沒有保證解的高度永遠有限。
2. 等待解 a=2 在接點的導數是多少？它符合 y(0)=0 嗎？
看完整推理
接點導數為 0：左側常數導數為 0，右側 3(x−2)² 在 x→2⁺ 也趨近 0；差商同樣證明可微。因 0≤2，y₂(0)=0，初值成立。
3. 畫布只畫出一條曲線，可以宣布唯一嗎？
看完整推理
不能。可能只是程式選了某個分支；例如 Euler 從非唯一例的零點起步，每次斜率都是 0，便只畫出零解。唯一性需要定理條件或其他證明，像素不是排除其他解的證據。
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。
- Brown University · Peano and Picard theorems：連續性足以保證局部存在，唯一性需要額外條件。
- Jiří Lebl · Slope fields · Theorem 1.2.1：局部存在唯一性的可微充分條件。
- NPTEL · Existence & Uniqueness：Lipschitz 版本的定理。
- William F. Trench · Existence and uniqueness：存在、唯一與有效區間的區別。