從 Clairaut 多走一步
Clairaut 的 x 前面剛好是斜率；這一頁把它換成一般的函數，好用的抵消就不見了。
讀過Clairaut 方程與積分因子，就有這一頁需要的兩個工具。Lagrange 型方程寫成
φ、ψ 是題目給定的函數；在討論的 p 區間，假設它們及一階導數連續（C¹）。若 φ(p)=p，就是前頁的 Clairaut；一般情況則讓 x 前面的係數成為更複雜的斜率函數。這裡的「Lagrange 型」是一階微分方程的形式，與最適化的 Lagrange 乘數法不是同一個程序。
主例取 φ(p)=2p、ψ(p)=p²，因此 y=2xp+p²。本頁仍以 C¹ 的 y(x) 作原方程的解；為了推導，先在 p 可微的光滑段落工作。遇到不滿足推導條件的點，最後直接檢查原式。
把未知函數改成 x(p)
反過來想：把 x 當成未知函數、p 當成自變數。原本難解的式子會變成熟悉的線性方程。
沿原來的 x 微分
p = φ(p) + [xφ′(p)+ψ′(p)]p′乘積律帶來 φ(p)，鏈鎖律帶來 p′。這次 φ(p) 不一定能和左側 p 抵消。
在 p′≠0 的局部換參數
[p−φ(p)] dx/dp
= xφ′(p)+ψ′(p)p(x) 局部可反解，dx/dp=1/p′。這一步只處理可用 p 作座標的段落。
再分離出線性標準形
dx/dp − [φ′(p)/(p−φ(p))]x
= ψ′(p)/(p−φ(p))現在自變數是 p、未知函數是 x。需要 p−φ(p)≠0，並在係數連續的參數區間解題。
積分因子依舊是「讓左側成為一個乘積導數」；只是以前的 P(x) 現在換成 p 的係數。若 φ(p)=p 恆成立，這裡的分母處處為零，應回到 Clairaut 的零乘積，不可硬套線性式。
在除法之前，先把常斜率列為另一組候選。若 p=c 固定，原式給 y=xφ(c)+ψ(c)，它的導數是 φ(c)。所以相容條件是
要在 φ、ψ 有定義的範圍找出所有這類根，再代回確認。這只補回常斜率解；一般方程的其他奇異點仍需個別分析，沒有一條除法規則能保證自動找全。
主例：重新用一次積分因子
完整算一次：換自變數、用積分因子解出 x(p)、再把 y 一起寫成參數式。
對 y=2xp+p²，p−φ(p)=−p，所以暫時取 p>0 或 p<0 中不跨零的區間：
寫出 x(p) 的線性式
dx/dp + (2/p)x = −2不能跨過係數 2/p 的奇點。正、負半軸可各自解。
找乘積導數
μ(p)=exp(∫2/p dp)=p²
(p²x)′=−2p²因為 exp(2ln|p|)=p²；積分因子的非零常數倍不改變解法。
積分再還原 y
p²x=−2p³/3+C
x=C/p²−2p/3
y=2xp+p²=2C/p−p²/3C 是每一個所選參數區間上的常數，兩個座標必須使用同一個 C。
找通過 (1,3) 且 p=1 的那一支：將 x=1、p=1 代入 x(p)，得到 C=5/3。代回 y=2C/p−p²/3 得到 3。若題目只給 (1,3)，原式其實允許另一個斜率；練習會補出那一支，不能把圖中的正 p 範圍誤認為全體解。
參數叫 p，還要證明它就是斜率
參數叫 p，不代表它就是斜率。要用參數式的導數比值實際算一次才算數。
從代數上，剛才的座標滿足 y=2xp+p²，但這還缺少 p=y′。用參數導數檢查：
dy/dp = −2C/p²−2p/3
dy/dp = p·dx/dp
在 p≠0 且 dx/dp≠0 的地方，反函數定理給出局部 p(x)，所以 dy/dx=(dy/dp)/(dx/dp)=p。這時兩個要求才同時成立。在 C=5/3、p=1，dx/dp=−4，確實可反解；對這個 C 的整個正 p 區間，dx/dp 也一直為負，沒有折返。
一條曲線可以在不同區間各自形成解的圖形，但用參數一次走完它，不代表每個 x 只會對到一個 y。圖的座標範圍有限；曲線離開畫面，不等於數學上的解已終止。
p=0：漏掉的解，和可以補回的點
除以 p 的時候，p = 0 那一條被丟掉了。它要單獨代回原式檢查，成立就補回來。
先依 c=φ(c)=2c 得到 c=0。原式給 y=0，而導數也是 0，所以整條零解有效。它沒有包含在剛才除以 p 的推導裡，必須單獨列出。
再看 C=0 的非零參數段：
p=−3x/2 ⇒ y=−3x²/4
原參數計算排除了 p=0，也就是 x=0；但新得到的顯式函數在那裡可微。直接用它自己的導數檢查全實軸：
2xy′+(y′)²
=−3x²+9x²/4
=−3x²/4=y
因此這條拋物線可以補回 x=0，成為全實軸解。它和零解是兩條不同的解，只是在 (0,0) 的值與斜率都相同。推導時不能除以零，不代表最後的解一定不能延伸過那一點。能否延伸由原式與可微性決定。
dx/dp=0：這個折返為什麼不能硬接？
當 x 沿參數走到轉折點，兩側要分開看，不能硬接成一條 y(x)。
令 C=−1/3。dx/dp=0 發生在 p=1，此時 (x,y)=(−1,−1)，dy/dp 也為 0。導數比值成為 0/0；不能約掉後直接宣布有跨越該點的 y(x)。在正 p 軸上，dx/dp 於 1 左側為正、右側為負，x 在這裡達到最大值 −1，兩側需要分開視為局部分支。
這一例甚至能從原式證明：沒有定義在包含 x=−1 的開區間、並通過 (−1,−1) 的實 C¹ 解。先配方：
D(x)=x²+y(x) ≥ 0
在該點 D(−1)=0，方程強制 p=1。假如真有那樣的 C¹ 解，便會有
D′(−1)=−2+1=−1
但 D 在零值處有負導數，意味著往右走足夠小的一段就會變成負數，與平方必須非負矛盾。圖中的空心點表示這個跨點解不存在的限制，而不是把 0/0 簡單畫成直線。這是針對本例的證明；一般 dx/dp=0 的點仍要個別查，前一節可補回的情況已說明不能一概而論。
試著找回未顯示的分支
圖上沒畫的分支不代表不存在。互動只掃描一部分，結論要回到式子。
1. 主例只給 y(1)=3，除了 p=1，還有哪個初始斜率與 C？
看完整推理
在初始點代入原式：3=2p+p²，即 (p−1)(p+3)=0。因此另一個斜率是 p=−3。
y=2(−9)/(−3)−9/3=3
此時 dx/dp=−2/3−2(−9)/(−27)=−4/3≠0，因此確有通過該點的局部分支。它處在負 p 區間；互動僅畫正 p，不能據此把它刪去。
2. 對 y=x(2p+1)+p²，找出被常斜率條件補回的解。
看完整推理
φ(p)=2p+1、ψ(p)=p²。先解 c=2c+1，得到 c=−1，所以候選為 y=−x+1。它的導數是 −1；原式右側 x(−2+1)+1=−x+1，故整個實軸都成立。若在非恆斜率推導中除以 p−φ(p)=−p−1，這一支會消失，因此必須另外檢查。
3. C=0 的參數式排除 p=0，能直接說 y(0)=0 沒有解嗎？
看完整推理
不能。排除只是推導的使用範圍。消去參數得到 y=−3x²/4，其導數在 0 為 0，正文已證明它在所有 x 滿足原式。另有 y=0 也成立，所以 y(0)=0 至少有這兩條全實軸解。這與 C=−1/3 的折返點不同：後者有原式的非負性矛盾，前者有直接代回的延伸證明。
把這一段的方法放回同一張圖
把這一段方法放回同一張路線圖，接下來換成二階方程。
一階高次方程先問「每個點允許哪些斜率」；Clairaut 用零乘積保留直線與包絡候選；Lagrange 則在合法的局部交換參數，再借線性方程求出 x(p)。三者最後都回到相同的檢查：函數是否存在、導數是否符合、原方程是否在整段成立。接下來轉向二階線性方程，從位置與斜率兩項初值重新理解解的自由度。
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。
- Vladimir Dobrushkin · Brown University · Lagrange equations：核對一般式與 x(p) 的線性化；本文採另行推導的多項式例題。
- Jiří Lebl · Linear equations and the integrating factor：核對線性方程的積分因子機制。
- MIT · The Implicit Function Theorem：核對非零參數導數下的局部反解。