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數學 · 常微分方程 · 15

勢函數Potential functions

積分一個偏導數時，為什麼最後要留下 g(y)，而不是只寫 C？

找到一個 x 偏導數正確的函數，還只做完一半。另一個偏導數會把漏掉的 y 方向資訊找回來。

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少了 y²，等高線也會走錯

比較候選勢函數的 C=3 等高線；再補上 g(y)，檢查兩個偏導數。

候選函數的等高線正確 F=x²y+y² 的等高線
F₀=x²y 有正確的 Fₓ=2xy，卻只有 Fᵧ=x²。原式要的是 x²+2y，所以必須補上 y²；正確等高線為 x²y+y²=C。
固定 C=3，畫出正 y 分支。補齊後兩線重合。偏導數檢查點 (1,1) 用於核對整個函數，不限定在這條等高線上。
(1,1) 的 Fᵧ−N
檢查結果

原方程提供的是兩份偏導數資訊

原方程其實給了兩份資訊：F 往 x 方向的變化，和往 y 方向的變化。任務是把 F 拼回來。

要求解

2xy dx + (x²+2y) dy = 0

也就是 M=2xy、N=x²+2y。希望找到 F，使 Fₓ=2xy 且 Fᵧ=x²+2y。這個例子在整個平面上都光滑；不用在求導前先排除對數或分母的禁點。

先對 x 積分時，y 暫時視為固定數值。於是 2xy 對 x 的原函數是 x²y。但任何只依賴 y 的函數，在對 x 偏微分時都會消失，所以目前只能確定：

F(x,y) = x²y + g(y)

g(y) 是「相對於 x 不變」，不必相對於 y 也不變。若過早寫成一個數字常數，你就把另一方向的未知資訊刪掉了。

完整重建：用第二個偏導數找 g

先對 x 積分會漏掉「只跟 y 有關」的那一塊，因為它對 x 微分時會消失。用第二個條件把它找回來。

  1. 先保留所有 x 積分看不到的部分

    F=x²y+g(y)

    這保證 Fₓ=2xy=M，第一個條件已滿足。

  2. 對 y 微分，要求符合 N

    Fᵧ=x²+g′(y)=x²+2y

    消去兩邊相同的 x²。

  3. 解一個只依賴 y 的積分

    g′(y)=2y ⇒ g(y)=y²+K

    K 是一般數字常數。可先取 K=0；加常數不改變偏導數，只會重新標記等高線常數。

  4. 把兩個偏導數都驗一次

    F=x²y+y²；Fₓ=2xy，Fᵧ=x²+2y

    兩個條件同時成立，才確認原微分形式就是 dF。

  5. 寫隱式解並套初值

    x²y+y²=C；若 y(1)=1，則 C=2

    由初始點選出等高線，也選出附近的函數分支。

若需要顯式式子，把 y²+x²y−2=0 當作 y 的二次方程：

y = (−x² + √(x⁴+8))/2

在 x=1，正根給 1、負根給 −2，因此選正根。對這條解 N=x²+2y=√(x⁴+8)>0，在所有實數 x 都能寫成可微分支。隱式微分給 2xy+(x²+2y)y′=0，正好回到原式。

先測 Mᵧ=Nₓ，究竟能保證多少？

有一個快速檢查：兩個交叉偏導數必須相等。不相等，就一定不正合。

若 M、N 是某個 F 的一階偏導數，而且它們的一階偏導數連續，混合偏導數可交換次序，所以正合必然要求

Mᵧ = (Fₓ)ᵧ = (Fᵧ)ₓ = Nₓ

本例兩邊都等於 2x。這是一個快速必要條件。如果不相等，在該鄰域就找不到這樣的 F；不是再換一個積分常數就能救回來。

充分條件要加上區域。若 M、N 在一個單連通開區域 D 上具有連續的一階偏導數，且整個 D 中 Mᵧ=Nₓ，便存在 D 上的勢函數。單連通可理解成：D 連成一片，任何其中的閉合路徑都能在不離開 D 的情況下縮到一點；平面中可直觀想成沒有洞。

在任一內部點附近，可取完全位於 D 內的小矩形；它沒有洞，因此同樣的導數相等條件給局部勢函數。但把很多局部結果拼成覆蓋整個區域的一個單值 F，需要更多檢查。下一個例子顯示差別。

反例：繞一圈回來，數值卻想多出 2π

若區域有洞，就要另外檢查全域勢函數，不能只靠交叉偏導數相等。

在去掉原點的平面上，令

M=−y/(x²+y²)，N=x/(x²+y²)

直接微分：

Mᵧ=(y²−x²)/(x²+y²)²=Nₓ

每個允許的點都通過測試。但沿單位圓取 x=cos θ、y=sin θ，0≤θ≤2π，有 dx=−sin θ dθ、dy=cos θ dθ，因此

M dx+N dy = (sin²θ+cos²θ)dθ = dθ

沿一圈加總，也就是線積分，得到 ∫₀²π dθ=2π。若它是某個全域單值 F 的 dF，沿路累積的改變應等於 F(終點)−F(起點)；同一點出發又回到同一點，必須為 0。矛盾證明：不存在覆蓋整個去心平面的單值勢函數。

在 x>0 的半平面，F=arctan(y/x) 的兩個偏導數恰好是 M、N，所以局部／限制區域後仍然可以。這裡不需要學完整線積分理論：只用了參數化、鏈鎖法則與「回到同一點函數值不變」。

有洞也不代表一定不正合。例如 F=x²+y² 即使把原點刪去，仍是有效的勢函數。單連通是便利的充分條件，不是每個特定函數都不可缺少的條件。

練習：讓另一個偏導數決定漏項

兩個偏導數一起用：一個給骨架，一個補漏掉的項。

1. 對 eʸ dx+(xeʸ+2y)dy=0，找 F。

看完整推理

對 x 積分得 F=xeʸ+g(y)。Fᵧ=xeʸ+g′(y)，與 N 比較得 g′=2y，所以取 F=xeʸ+y²。Fₓ=eʸ、Fᵧ=xeʸ+2y 均正確，隱式解是 xeʸ+y²=C。

2. 對 2xy dx+(x²+3x)dy=0，能靠 g(y) 補成勢函數嗎？

看完整推理

若 F=x²y+g(y)，便需要 g′(y)=3x，右側仍含 x，在任何開區域上都不可能只是一個 y 函數。也可先算 Mᵧ=2x、Nₓ=2x+3，不相等，所以原形式不正合。

3. F 與 F+7 給的是不同解族嗎？

看完整推理

偏導數相同，微分方程不變。F=C 與 F+7=C̃ 只要取 C̃=C+7，就標記同一條等高線。若有初值，兩種記號算出的常數相差 7，但曲線不變。

原式不正合，還能補上一個因子嗎？

不正合不代表無解。乘上一個合適的因子，也許就正合了。

上一題找不到原式的勢函數，不代表方程沒有解。有時乘上一個處處非零的函數，就能讓兩個混合偏導數相合；那會把積分因子與正合方法接在一起。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。