正合方程的積分因子Integrating factors for exact equations

乘上非零函數，保留原來的解方向

乘上一個不會等於零的函數，解曲線的方向不會改變——但零點和沒定義的地方要另外交代。

從 M dx+N dy=0 出發，假設它尚不正合。希望找一個函數 μ，使

只要 μ 在選定區域上處處非零，乘之前與乘之後的方程等價；除回 μ 就可還原。但「方向相同」不代表向量的大小相同，負的 μ 還會反轉 (M,N) 的方向。解曲線仍沿相同的切線方向。

μ=0 的地方不能靠除法還原；μ 未定義的地方更不能直接使用。因此本頁所有求法都先選區域，再回到原式核對被排除的位置或解。

先假設 μ 只依賴 x，看看這要求什麼

先試因子只跟 x 有關。若正合條件化簡後也只含 x，就能用一條一階方程求因子。

正合條件是 (μM)ᵧ=(μN)ₓ。若 μ=μ(x)，對 y 偏微分不會微到 μ，但對 x 會：

1. 把兩邊乘積微分展開

   μMᵧ = μ′N + μNₓ

   μ′ 此時就是 dμ/dx。

2. 把已知係數移到同一邊

   μ(Mᵧ−Nₓ) = μ′N

   若選定區域中 N≠0，且 μ≠0，可以除以 μN。

3. 左邊只可能依賴 x

   μ′/μ = (Mᵧ−Nₓ)/N = f(x)

   右側化簡後也必須只依賴 x；若仍真的依賴 y，這個假設就不成立。

4. 解這個一變數方程

   μ(x)=exp(∫f(x)dx)

   對連續 f 選任一原函數即可。接著仍要驗 (μM)ᵧ=(μN)ₓ，並求勢函數。

這是尋找只依賴 x 的因子的特別方法，不是所有微分方程的通用答案。公式是在分母非零區域推導的；如果化簡後想延伸到 N=0 的位置，要回頭直接檢查乘過去的形式，不能只引用剛才的除法。

完整例題：2y dx+x dy=0，y(1)=1

完整算一次：找因子、乘開、確認正合、求勢函數、代初值、代回檢查。

1. 檢查原形式

   M=2y，N=x；Mᵧ=2，Nₓ=1

   不相等，所以原形式不正合。先取含 x=1 的區域 x>0。

2. 試只依賴 x 的因子

   (Mᵧ−Nₓ)/N=1/x ⇒ μ=x

   e^(ln x)=x，在這個半平面處處非零。

3. 相乘後重新驗證

   2xy dx+x² dy=0

   兩個交叉偏導數都是 2x，且這就是 d(x²y)=0。

4. 求常數與顯式解

   x²y=C；C=1 ⇒ y=1/x²

   在 (0,∞) 上可微。原式 2y+xy′=2/x²+x(−2/x³)=0，初值也正確。

同一題若先除以 x，變成 y′+(2/x)y=0，線性法的因子是 x²。這沒有衝突：

因為兩份「原式」本來就相差 x 倍，所需乘數自然不同。比較積分因子之前，先確認方程是否已經除過某個係數。

如果初值改為 y(1)=0，就得到 y≡0。雖然原式還可以在 x=0 代入，其他 C/x² 分支在零附近發散；不要用 μ=x 在零為零的事實，替任何曲線自動加上穿過零的資格。

若只依賴 y，分母與符號都會換

也可以試只跟 y 有關的因子。這次分母和分子的相減順序都會改變。

令 μ=μ(y)，此時 (μM)ᵧ 會微到 μ，而 (μN)ₓ 不會：

在 M≠0、μ≠0 的區域，整理成

如果右側只依賴 y，便可取 μ(y)=exp(∫g(y)dy)。注意與 μ(x) 的測試相比，分母改成 M，分子也反向相減；兩個改變都來自乘積微分，不要只交換字母。

例：y dx+2x dy=0

M=y、N=2x，所以 (Nₓ−Mᵧ)/M=(2−1)/y=1/y。在 y>0 區域選 μ=y，得到 y² dx+2xy dy=d(xy²)=0。

若 y(1)=1，則 xy²=1，選正分支 y=1/√x，I=(0,∞)。代回 y+2xy′=x^−1/2−x·x^−3/2=0。負分支對應不同初值；原式的 y≡0 也有效，但乘數公式排除了 y=0，所以要另行代回列出。

線性積分因子，就是其中一個直接可行的情況

一階線性方程用的積分因子，其實就是這個方法裡最直接的一種情況。

把 y′+p(x)y=q(x) 寫成

此時 M=py−q、N=1，Mᵧ=p、Nₓ=0。μ(x) 測試便直接給 μ′/μ=p，得到前面推導的 μ=e^{∫p dx}。而勢函數可以選

Fᵧ=μ；Fₓ=μ′y−μq=μ(py−q)，兩個偏導數都符合。令 F=C，正是線性法的積分結果。這個接法需要 p、q 至少連續，並直接由公式驗證偏導數；不必額外要求 q 可微才能解一階線性方程。

如果兩個特別測試都失敗，不表示沒有解、也不表示不存在依賴 x 與 y 的積分因子。例如在 x>0、y>0 上，M=x²+y、N=x(1+y) 的兩個比值為 −y/[x(1+y)] 與 y/(x²+y)，都依賴兩個變數，因此這兩條捷徑沒有給出答案。

對一般 μ(x,y)，正合要求 Mμᵧ−Nμₓ=(Nₓ−Mᵧ)μ，已是一個關於 μ 的偏微分方程。本系列此處只建立判讀邊界，不假裝找到一個容易的普遍算法。

練習：每次都把乘積微分展開

每一次都把乘積微分實際展開來對，不要用「看起來很像」判斷。

把這段方法放在同一張路線圖

把這一段的方法放回同一張路線圖，看它和前面的工具怎麼接上。

一階線性法用乘積微分，Bernoulli 用冪次代換，正合法找不變量；正合積分因子則把前兩種觀點接起來。遇到題目時，先看結構與允許的區域，再選工具，最後用原式、初值與區間驗算。

下一部分將處理導數不再只以一次方出現的情況，以及一般解族以外的奇解。目前可以先回到已完成的例子，練習辨認同一題可走的不同路線。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Exact equations · Integrating factors：乘因子後的正合條件與線性方法的關係。
• Jiří Lebl · Linear equations and the integrating factor：線性因子的乘積微分推導。