01 / 接住上一頁的問題
同一條規則，容許不同的起點。
對 y′ = y，eˣ 前面乘上任何常數都還是解，這一整群曲線就叫解族。
上一頁我們檢查了 eˣ、3eˣ 和 0：它們都滿足 y′=y。現在把不同的倍數統一寫成一個符號 C。
固定 C 之後，對 x 微分，得到 y′=Ceˣ=y。所以每一個 C 都產生一個解；把它們放在一起，就是解族。
C 為正，曲線在 x 軸上方；C 為負，曲線在下方；C 為 0，就是整條水平的零解。互動中的淡色曲線只取這個無限解族的一小部分，綠色則是你目前選中的解。
C 是同一條曲線上的固定數。沿 x 移動時，不能每到一點就重新挑一個 C。若改成 C(x)，求導會多出 C′(x)eˣ，通常就不再滿足原方程。
02 / 不只找到幾個例子
怎麼知道沒有漏掉別的解？
說「這些都是解」還不夠，還要說「沒有別的解了」。這一段用一個小技巧，把任意解逼成同一個樣子。
只驗證「每個 Ceˣ 都是解」，還不足以證明「每個解都長這樣」。後者需要反過來：假設 y 是任意一個可微的解，看看它被方程限制成什麼形式。
從原方程出發。y′−y 在考慮的連通區間內處處為 0。
y′ − y = 0觀察 y 與 e⁻ˣ 的乘積。用乘積微分與鏈鎖律求導。
(e⁻ˣy)′ = −e⁻ˣy + e⁻ˣy′提出共同因子，代入原方程。
(e⁻ˣy)′ = e⁻ˣ(y′−y) = 0導數處處為 0，函數在該區間是常數。這使用微積分中由均值定理得到的結果。
e⁻ˣy = C乘上 eˣ，解出 y。eˣ 永不為 0，這一步不會漏掉零解。
y = Ceˣ
所以 Ceˣ 包含這個方程在連通區間上的所有可微解，稱為它的通解。本例的公式可延伸至整條實數軸。
複習：為什麼乘積微分會有兩項？
若 u 和 v 都隨 x 變，乘積的微分是 (uv)′=u′v+uv′。不能只對其中一個因子求導。
這裡 u=e⁻ˣ、v=y；鏈鎖律給出 u′=−e⁻ˣ，因此兩項恰好組成 e⁻ˣ(y′−y)。這個乘上 e⁻ˣ 的想法，之後會發展成「積分因子」。
03 / 指定曲線必經的一點
方程給規則，初始條件給位置。
方程說「怎麼變」，初始條件說「從哪裡出發」。在 y′ = y 這個例子，兩者一起選出唯一曲線。
y(0)=2 表示：在 x=0 的位置，函數值必須等於 2。圖像上就是曲線必須通過點 (0,2)。
把微分方程和這個條件放在一起，就得到一個初始值問題：
先寫出通解。
y(x) = Ceˣ把 x=0 代入。注意 y(0) 是函數在 0 的值，不是 y 乘 0。
y(0) = Ce⁰ = C要求這個值等於 2。
C = 2把常數放回函數。
y(x) = 2eˣ
這條已選定常數的解，可以稱為此初始值問題的特解。它需要同時通過兩個檢查：符合變化規則，也通過指定初始點。
檢查方程
y′=2eˣ=y
在每個 x 都成立。
檢查初始條件
y(0)=2e⁰=2
通過指定的 (0,2)。
例如 3eˣ 也符合方程，但它在 x=0 時等於 3，因此不是這個初始值問題的解。
04 / 推廣同一個計算
把初始位置也留成一個符號。
起點不一定在 x = 0。把它寫成符號 (x₀, y₀)，一條公式就涵蓋所有起點。
初始條件不一定在 x=0 給出。用 x₀ 表示已知的位置，y₀ 表示那裡的高度，寫成 y(x₀)=y₀。下標 0 用來標記初始資料，不表示兩個值都是零。
將初始位置代入通解。
y₀ = Cex₀ex₀ 永不為零，可以除過去。
C = y₀e−x₀代回 y=Ceˣ，合併指數。
y(x) = y₀ex−x₀
x−x₀ 表示相對於初始位置走了多遠。把 x 換回 x₀，指數變成 0，函數自然回到 y₀。
完整例子：y(1)=−2
此時 x₀=1、y₀=−2，所以 C=−2/e，得到：
求導時，x−1 的導數是 1，因此 y′=−2ex−1=y；再代入 x=1，得到 y(1)=−2e⁰=−2。兩項都通過。
這個初始位置在互動滑桿範圍之外，卻同樣適用。滑桿範圍是顯示選擇，不是公式的適用範圍。
回到互動：先把 y₀ 改成負值，觀察曲線所在位置；再設成 0。最後固定 y₀，只改 x₀，看看 C 如何調整，讓曲線始終穿過初始點。
05 / 結論有多大
這一題唯一，不代表每一題都唯一。
這一題答案唯一，是因為我們證明了；不是因為「一個常數配一個條件」就自動成立。
對 y′=y，我們已證明所有解都是 Ceˣ；而 y(x₀)=y₀ 又唯一決定 C=y₀e−x₀。所以對任何實數初始點，這一題都有唯一的全域解。
這是本例的證明。一般微分方程需要另外檢查存在與唯一性的條件，不能只數「一個常數、一個條件」就保證結論。
一個初始條件，可能仍有兩種走法
考慮 y′=3y2/3，其中 y2/3=(∛y)²，並要求 y(0)=0。
y=0 的兩邊都是 0；y=x³ 的導數是 3x²，而右邊 3(∛x³)²=3x²。兩個函數也都通過 (0,0)，卻是不同的解。
因此「指定一個初始點」這件事本身，沒有保證唯一。這個例子的右側對 y 的變化在零附近不滿足常用唯一性定理所需的局部 Lipschitz 條件；條件與定理會在後續主題細談。
「特解」這個詞，之後還會出現另一種用法
在這裡，它指通解中選定常數、符合初始條件的一條解。之後談非齊次線性方程時，particular solution 也常譯作「特解」，意思是先找到任何一個符合非齊次方程的解，不一定已滿足指定初值。屆時會連同上下文說清楚。
06 / 方程與初值分別檢查
先想常數，再檢查整條函數。
先把常數 C 算出來，再把整條函數代回去檢查——兩步都要做。
1. y′=y，y(0)=−1，解是什麼？
看完整推理
由 y=Ceˣ 得 y(0)=C=−1，因此 y=−eˣ。導數是 −eˣ，符合方程；在 0 的值是 −1，符合初始條件。
2. y′=y，y(1)=2，能直接寫 y=2eˣ 嗎？
看完整推理
不能。把 x=1 代進通解，得到 Ce=2，所以 C=2/e，解為 y=2ex−1。若寫成 2eˣ，在 x=1 時會得到 2e，不是指定的 2。
3. 初始高度是 0，之後會自己離開零嗎？
看完整推理
對這頁的 y′=y，不會。任何 x₀ 都給 C=0，唯一解是 y=0。這個結論依賴目前方程；上一節的非唯一反例正好提醒我們，不能把它套給所有方程。
我們已知道規則，也選定了起點。下一頁先把完整公式放在一旁，只看每個點的斜率：局部方向能不能引導出整條曲線？
核對與延伸
來源與範圍
這三頁以一個自變數的常微分方程為主，使用無因次的數學例子。畫面只顯示有限區域；曲線離開畫面，不代表解在那裡終止。
圖像幫助觀察，代回運算才檢查例子是否滿足方程。存在與唯一性的一般理論、更多解析解法，留在後續主題詳細展開。
- Jiří Lebl · Introduction to differential equations：方程、解與驗解的定義。
- Jiří Lebl · Slope fields：方向場及初值解的條件。
- Jiří Lebl · Euler’s method：逐步近似與誤差。
- MIT OpenCourseWare · First Order Differential Equations：一階微分方程的概念、幾何及數值觀點。