NebluxDepth

數學 · 常微分方程 · 26

高階線性微分方程Higher-order linear equations

階數再提高，線性結構仍在；你需要的是足夠多的獨立解，以及同樣多的初始資料。

把二階的兩個方向推廣成 n 個方向。根的重數負責告訴我們還缺哪些基底，而初值系統負責把它們配成指定的那一條解。

系列目錄 · 26／26

固定兩個初值，為什麼曲線還會變？

原式為 y‴+y″+y′+y=0。固定 y(0)=1、y′(0)=0，只調整 y″(0)。

選定的解（綠實線）y″(0)=0 的比較解（藍虛線）
三階例題的基底為 e⁻ˣ、cos x、sin x。即使固定位置與斜率，初始二階導數仍能選出不同的解。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
可調的第三項資料
固定的前兩項

n 階線性式需要哪些條件？

n 階需要 n 個初始資料。二階要位置和斜率，三階還要再多一個。

先備是線性與初值唯一性、特徵根與重數。n 階線性方程的最高導數是 y(n)，也就是對 x 微分 n 次，不是 y 的 n 次方。一般形式為

aₙ(x)y(n)+aₙ₋₁(x)y(n−1)
+⋯+a₁(x)y′+a₀(x)y=f(x)

在最高階係數 aₙ 非零的區間除成標準形，並要求得到的係數與右側連續。此時指定同一初始點上的 y、y′、⋯、y(n−1) 共 n 項資料，有唯一解。條件延續二階那套邏輯：最高階係數為零時，不能直接沿用。

注意這裡說的是同一點的初值；把條件分散在兩個端點的邊界值問題，不會自動獲得同樣的存在唯一性結論。

一組完整基底，為什麼剛好有 n 條？

基底剛好 n 條不是巧合：要配得出 n 個初值，就需要 n 個獨立方向。

線性算子仍滿足疊加。若找到 n 條同一齊次方程的解 y₁、⋯、yₙ，便可試 y=ΣCⱼyⱼ。把這個式子及其前 n−1 次導數代入初值，得到 n 個未知常數的線性系統。

把各條解放在欄，把導數階數 0 到 n−1 放在列，該矩陣的行列式是高階 Wronskian。當它在初始點非零，任意 n 項初值都能唯一配平；再用微分方程的唯一性，就能證明這些解張成全部齊次解。這是「n 條獨立解」的用處，不只是數一數寫了幾個加號。

非齊次式同樣採一條特解加上全部齊次解。待定係數與參數變易能推廣，但求積分或解線性系統的工作量會增加；有結構不等於每題都能輕易化成初等函數。

常係數：根和重數一起計數

常係數時把根找出來就好，但重複的根要按「重複幾次」計數，不是只數不同的數值。

常係數情況代入 y=eʳˣ，會得到 n 次特徵多項式 P(r)。若實根 r₀ 的重數為 s，它提供

er₀x，xer₀x，⋯，xs−1er₀x

因為 (D−r₀)[er₀xv]=er₀xv′，連續 s 次會消掉次數小於 s 的多項式。這與二重根的 v″=0 完全接續。若實係數多項式有 α±iβ（β>0）這對重數各 s 的根，它們一起提供 2s 條實解：

xʲeαxcos(βx)
xʲeαxsin(βx)
j=0,1,…,s−1

所有實根與共軛對按重數合計 n 條，形成常係數齊次方程的基底。根重數是代數資訊；是否獨立不能靠兩條圖看起來不同判定。一般高次多項式也不保證有簡單根式公式，可以保留根的表示或使用另行驗證的數值根，不宣稱所有 n 階問題都能靠手算因式分解。

三階主例：把三個係數求完

完整算一次：因式分解特徵式、寫出通解、把三個初值列成聯立方程解。

解 y‴+y″+y′+y=0，先指定 y(0)=y₀、y′(0)=v₀、y″(0)=a₀。特徵式分組因式分解：

r³+r²+r+1
=(r+1)(r²+1)=0

根為 −1、i、−i，故 y=Ae⁻ˣ+B cos x+C sin x。原式可視為 (D+1)(D²+1)y=0；e⁻ˣ 被前一因子消去，正弦與餘弦被後一因子消去，且常係數微分算子可交換，因此每一項都通過。

  1. 把三個初值寫成線性系統

    A+B=y₀
    −A+C=v₀
    A−B=a₀

    第二階導數的值不由前兩項決定。

  2. 相加、相減，逐一解係數

    A=(y₀+a₀)/2
    B=(y₀−a₀)/2
    C=v₀+(y₀+a₀)/2

    任何三項實初值都能唯一配平；初值矩陣的行列式為 2≠0。

  3. 代入圖中的基準初值

    y₀=1，v₀=0，a₀=0
    y=(e⁻ˣ+cos x+sin x)/2

    圖只調 a₀，其餘兩項保持固定，讓第三個自由方向直接可見。

基準解的導數可明算：

y′=(−e⁻ˣ−sin x+cos x)/2
y″=(e⁻ˣ−cos x−sin x)/2
y‴=(−e⁻ˣ+sin x−cos x)/2

與 y 相加後，三種函數的係數全部抵消；在 0 的值依序是 1、0、0。這同時檢查原式與初值，不只是確認特徵多項式分解沒算錯。

四階例：兩個根，也能給四條解

只有兩個不同的根，仍然可以給出四條解——因為每個根都重複了兩次。

考慮 y⁽⁴⁾−2y″+y=0，特徵式是

r⁴−2r²+1=(r²−1)²
=(r−1)²(r+1)²

不同根只有 1 與 −1，但各有重數 2。因此一般解為

y=(C₁+C₂x)eˣ
+(C₃+C₄x)e⁻ˣ

若只寫 C₁eˣ+C₂e⁻ˣ，會漏掉 xeˣ 與 xe⁻ˣ 兩個獨立方向，無法配出任意四項初值。階數要求的是包含重數的完整解空間，不是特徵根的不同數值個數。

對零根也同樣：若 P(r)=r³，原式 y‴=0，解是 C₁+C₂x+C₃x²。零根並不代表只能有零函數；e⁰ˣ=1 以及重數帶出的多項式，都必須保留。

試著數清楚獨立方向

數獨立方向時要數「包含重數」的個數，不是數不同的根有幾個。

1. 三階主例改成 y(0)=1、y′(0)=0、y″(0)=1，得到什麼解？

看完整推理

A=(1+1)/2=1，B=(1−1)/2=0，C=0+1=1，所以 y=e⁻ˣ+sin x。導數在 0 為 −1+1=0，二階導數在 0 為 1−0=1；兩個成分各自通過原式，組合也通過。它和 a₀=0 的比較解具有相同位置與斜率，卻不是同一條曲線。

2. y‴=0，y(0)=2、y′(0)=−1、y″(0)=4，求唯一解。

看完整推理

三次積分或零根重數 3 給 y=C₁+C₂x+C₃x²。代初值 C₁=2、C₂=−1、2C₃=4，故 y=2−x+2x²。y‴=0 且三項初值符合。二階係數是 a₀/2，不是直接等於 a₀。

3. y⁽⁴⁾+2y″+y=0 應有幾條實基底？

看完整推理

P(r)=(r²+1)²，i 和 −i 各是二重根。一對共軛根、重數 2，給出 cos x、sin x、x cos x、x sin x 共四條實基底。一般解 (A+Bx)cos x+(C+Dx)sin x。只保留正弦與餘弦兩項會漏掉重數提供的方向。

接下來：係數會變，方法能保留多少？

係數固定的情況處理完了。係數會變時，這套方法還能保留多少？

從一階的分離與積分因子，到二階、高階的獨立解與特解，我們已建立常見線性方法的主線。最後一批將處理 Euler–Cauchy、降階、級數與部分非線性結構，再比較各方法的條件。這些尚未完成的頁面不先放入導覽；目前可以順讀或回看已完成的二十六頁。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。