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數學 · 常微分方程 · 09

一階齊次微分方程First-order homogeneous equations

斜率只看 y/x，換成比例當未知量會怎樣？

這裡的「齊次」是比例形式 y′=F(y/x)。它和「線性齊次」是不同用法；本頁從乘積微分推導代換，再回到熟悉的分離法。

系列目錄 · 09／26

同一條射線上，方向為什麼相同？

固定 y′=1+y/x。先看從原點延伸的同一比例線，再改 C 或選擇另一半軸；灰色短線顯示當地斜率。

選定半軸的精確解排除的 x = 0
令 v=y/x，則 y=vx、y′=v+xv′。y′=1+y/x 變成 xv′=1，因此 y=x(ln|x|+C)，有效區間分正半軸及負半軸。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
初值與常數的對應
目前解區間

兩種「齊次」，別混在一起

同一個「齊次」在課本裡有兩個意思。這一頁講的是：右邊只跟 y/x 這個比值有關。

本頁研究能寫成 y′=F(y/x) 的一階方程。x≠0；F 是給定的單變數函數，其輸入 v=y/x 是比值。本頁 x、y 採無因次變數；工程量若單位不同，須先選尺度正常化，不能直接把不同單位硬加。

比例形式的齊次

y′=1+y/x、y′=(y/x)²。右側只看比值 y/x；可用 v=y/x。後者是非線性。

線性方程的齊次

y′+p(x)y=0。意思是線性標準式的外加項為零。y′=y 屬此類，卻不具有只依賴 y/x 的形式。

例如本頁主例 y′=1+y/x 改寫成 y′−y/x=1，在任一半軸上是線性非齊次，同時又是比例形式的齊次。兩個標籤回答不同問題，並不矛盾。

若 (x,y) 同時乘一個非零倍率 λ，比值保持 (λy)/(λx)=y/x，因此在方程有定義的地方，右側斜率不變。圖上同一條射線的方向一致；但射線本身未必就是解，仍須代回比較它的斜率。

v 是函數，不是常數

換元的重點是：新的 v 也會隨 x 改變，所以微分時要用乘積法則，不能把它當常數。

  1. 選定半軸並定義新未知量

    v(x)=y(x)/x ⇒ y(x)=xv(x)

    x=0 已被原式排除。v 通常仍隨 x 變動。

  2. 用乘積微分

    y′ = v+xv′

    微分 x 得 1，微分 v 得 v′，兩項都要保留；漏掉 xv′ 就把 v 錯當常數。

  3. 代入原方程

    v+xv′=F(v) ⇒ xv′=F(v)−v

    右側不再同時含原來的 x、y，這正是代換的目的。

  4. 先查常比值解

    F(c)−c=0 ⇒ v(x)=c ⇒ y=cx

    若還在原方程的定義域，這些射線可能是解。先保留，避免下一步除法漏掉。

  5. 分離其餘分支

    v′/[F(v)−v]=1/x

    只在 F(v)−v≠0 的區間做除法。用鏈鎖律積分，而不是無條件消去符號。

  6. 積分並換回 y

    ∫ dv/[F(v)−v]=ln|x|+C

    最後一定把 v 換回 y/x、代初值並檢查區間。不是所有 F 都有容易計算的積分。

另一種等價視角：用對數當新位置

在任一半軸設 t=ln|x|，則 dt/dx=1/x，dv/dt=xv′。變換後 dv/dt=F(v)−v，成為自治方程。這只是協助理解為何可以分離；它不讓 x=0 重新進入定義域，也不把負半軸的 x 增加方向與 t 增加方向混為一談。

完整例題：y′=1+y/x，y(1)=2

完整算一次：辨識形式、換元、分離、積分、換回 y，最後用初值把常數定下來。

  1. 先辨識 F

    F(v)=1+v；F(v)−v=1

    沒有被除法排除的常比值根，因為 1 不可能等於 0。初始位置 x=1 要選正半軸。

  2. 代換並化簡

    v+xv′=1+v ⇒ xv′=1

    兩側的 v 抵消，留下 v′=1/x。

  3. 積分再換回

    v=ln|x|+C ⇒ y=x(ln|x|+C)

    本初值在正半軸，亦可寫 ln x。

  4. 代初值

    2=1×(ln1+C) ⇒ C=2

    所以 y=x(ln x+2)，x>0。

  5. 完整代回

    y′=ln x+3；1+y/x=1+ln x+2

    兩側相同，且 y(1)=2。

  6. 交代最大區間

    I=(0,∞)

    所有 x>0 都有有限公式；x=0 原式無定義。x ln x 雖趨近 0，也不能以補值消除原方程的分母問題。

若改成初值 y(−1)=2，便有 2=−C，所以 C=−2，解為 y=x(ln|x|−2)，區間 (−∞,0)。此時 d ln|x|/dx 仍為 1/x，代回完全相同。兩個半軸各自選常數，不由穿越原點連成同一個初值解。

第二個例子：不能漏掉常比值解

除法會偷偷丟掉解。被除掉的那些「固定比值」，要回頭一條一條代回檢查。

y′=(y/x)²，  y(1)=2這條方程非線性，但仍是本頁的比例形式。

  1. 代換並先找零因子

    v+xv′=v² ⇒ xv′=v(v−1)

    v=0、v=1 都使右側為零，先列 y=0、y=x；直接代回分別得到 0=0、1=1。它們都不符合 y(1)=2，但仍是原方程的解。

  2. 分離其他分支

    v′/[v(v−1)]=1/x

    此處限定 v≠0、1，且 x≠0。

  3. 部分分式與積分

    −ln|v|+ln|v−1|=ln|x|+C

    因為 1/[v(v−1)]=−1/v+1/(v−1)。

  4. 把固定符號吸收入常數

    (v−1)/v=Ax ⇒ v=1/(1−Ax)

    在連通的解段與半軸內處理符號，A≠0。換回 y=x/(1−Ax)。

  5. 代初值選 A

    2=1/(1−A) ⇒ A=1/2

    得到 y=x/(1−x/2)。

  6. 代回並檢查區間

    y′=1/(1−x/2)² = (y/x)²

    初值正確；原式排除 x=0，公式在 x=2 發散。含初值 x=1 的最大區間是 (0,2)。

A=0 雖不來自這一段非零除法，放進最後公式會還原 y=x；仍需另驗後才能納入。y=0 則無法用有限 A 放進此公式，需要另外列出。這就是只背通解公式會遺漏的分支。

一般 F 若不滿足唯一性的條件，還可能出現接近平衡比例後的其他延伸。本例 F(v)=v² 夠光滑，常比值解與非平衡解不會在 x≠0 處任意拼接；不要把特定例子的完整性推廣成任意 F 的保證。

辨識、換元、選支、驗解

辨識 → 換元 → 選半邊 → 驗解。少了選半邊那一步，答案的有效範圍就說不清楚。

1. 主例中 C=0 時，y=x ln|x| 是解嗎？y=x 是解嗎？

看完整推理

前者在任一半軸是解：導數 ln|x|+1 等於 1+y/x。後者的導數是 1，右側卻是 2，因此不是解。畫布上同一射線方向一致，不代表射線自身符合方向。

2. 主例 y′=1+y/x、y(−1)=−1，常數與區間？

看完整推理

−1=−(ln1+C)=−C，所以 C=1。解為 y=x(ln|x|+1)，I=(−∞,0)。導數 ln|x|+2，右側也為 ln|x|+2，且初值正確。

3. 對 y′=(y/x)²，若 y(1)=1，能除以 v−1 再算嗎？

看完整推理

初始比例 v(1)=1 正好是被排除的根。先試常比值解 y=x，導數 1 等於 (y/x)²=1，且初值正確。最大區間 (0,∞)；即使函數 x 能跨過 0，原方程仍不能。因右側在 x>0 光滑，此初值唯一。

下一個工具：把乘積微分反過來用

下一個工具反過來用乘積法則：讓整個左邊自己變成一個乘積的導數。

這一段已把分類、解的條件、分離法、區間、自治走勢與比例代換連起來。接下來的一階線性微分方程，會問能否乘上一個函數，讓整個左側變成乘積的導數；那就是積分因子的起點。

接著閱讀一階線性微分方程，把同一個例子整理成 y′−y/x=1，再用乘積微分找出另一條解題路線。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。