NebluxDepth

數學 · 常微分方程 · 14

全微分與正合方程Total differentials and exact equations

如果沿著一條曲線，有一個量始終不變，這能替我們找出解嗎？

方向場告訴你下一步往哪裡走。正合方程則多問一步：這些方向，是否都沿著同一個函數的等高線？

系列目錄 · 14／26

同一條等高線，不等於單一的 y(x)

改變常數 C，再選上分支或下分支。留意兩端的空心點。

所選的 y(x) 分支同一等高線的另一分支
F=x²+2y²=8 是橢圓。y(0)=2 選上分支 y=√((8−x²)/2)，只在 |x|<√8 能作為可微的 y(x) 解 y′=−x/(2y)。
兩軸的畫面比例可能不同；讀斜率請比較座標變化。顯示範圍有限，離開畫面不等於解終止。
y(0)
所選分支的區間

兩個變數的微分，先分方向看

一個量同時被 x 和 y 影響時，先固定一個、只看另一個造成的變化——這就是偏導數。

考慮平面上的函數 F(x,y)=x²+2y²。F 給每個點一個數值，可把它想成一張地形圖的高度；這只是幫助理解的比喻，不需要真的有一座山。

要問 F 在 x 方向怎麼變，先把 y 固定。得到偏導數 Fₓ=∂F/∂x=2x。同樣，把 x 固定、對 y 微分，得到 Fᵧ=∂F/∂y=4y。偏導數的下標指的是「讓哪個變數動」。

dF = Fₓ dx + Fᵧ dy = 2x dx + 4y dy

這個全微分是 F 在一個小位移 (dx,dy) 下的一階變化。實際有限增量還有二次項：ΔF=2xΔx+4yΔy+(Δx)²+2(Δy)²。所以不能把 dF 與任意大的有限改變混成完全相同的東西。

一旦沿著曲線走，鏈鎖法則把兩方向接起來

沿著一條等高線走，高度完全沒變，所以它的變化率是 0。等高線和微分方程就這樣接起來了。

現在令 y=y(x)。當 x 改變，F 同時受到 x 直接改變，以及 y 跟著改變的影響。兩變數鏈鎖法則是

dF(x,y(x))/dx = Fₓ + Fᵧ y′

如果沿這條曲線 F(x,y(x))=C 恆為常數，它的導數便為零：

Fₓ + Fᵧ y′ = 0

對我們的例子，即 2x+4yy′=0。只在 y≠0 時才能整理成 y′=−x/(2y)。原來橢圓上的方向，已經是一個微分方程的解方向。

反過來，如果某個可微 y(x) 在連通區間 I 上滿足 Fₓ+Fᵧy′=0，那麼 F(x,y(x)) 導數處處為零，由微積分可知它在 I 上為常數。這就是「解微分方程」與「找等高線」之間的橋。

什麼叫正合？兩項必須來自同一個 F

正合的意思是：式子裡的兩項，剛好是同一個 F 的兩個偏導數。「同一個」是關鍵。

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

這是將一階方程寫成微分形式；沿 y(x) 讀它，就是 M+Ny′=0。若在指定開區域 D 上存在同一個可微 F，滿足

Fₓ = M，Fᵧ = N

便說 M dx+N dy 是正合微分，方程稱為正合方程。解可由 F(x,y)=C 表示。F 通常叫勢函數；這個名稱本身不代表它一定是物理能量，單位與物理解釋要由實際模型決定。

「同一個」很重要。分別把 M 與 N 積分，各自產生兩個不相干函數，不能因此宣布正合。下一頁會用另一個偏導數把兩半接起來。

幾何上，在梯度 (Fₓ,Fᵧ) 非零的點，等高線的切向量 (dx,dy) 與它內積為零。梯度指向 F 增長的方向，解曲線沿 F 不變的方向走；兩個方向不要畫反。

完整例題：2x+4yy′=0，y(0)=2

完整算一次：認出 F、用初值定 C、選對分支、最後說清楚有效區間。

  1. 認出全微分

    2x dx+4y dy=d(x²+2y²)

    這次 F 直接看得出來，先取 F=x²+2y²。

  2. 沿解取常數，代入初值

    x²+2y²=C；C=0²+2·2²=8

    初值選中一條等高線，但還沒有決定它作為 y(x) 的哪一個分支。

  3. 由初值的正負選上分支

    y=√((8−x²)/2)

    根號內要正，且初值 y(0)=2>0。下分支的初值是 −2，不符合本題。

  4. 求導數並確認區間

    y′=−x/(2y)，I=(−√8,√8)

    代回 2x+4yy′=2x−2x=0；在開區間內 y 非零，可微且初值正確。

到了 x=±√8，y=0。若 y(x) 在該點可微，原式會要求 2x=0，與 x=±√8 矛盾；所以這裡確實不能繼續成為可微的 y(x)，而不只是公式除零的表面問題。

橢圓本身作為參數曲線仍可平滑通過兩端，例如 x=√8 cos t、y=2 sin t。但它在兩端有垂直切線，不能把整個封閉橢圓當成一條以 x 為自變數的單值可微函數。

等高線能不能解出 y，要看局部條件

一條等高線不等於一個函數。要能寫成 y(x)，還得看那一點附近的條件。

若 F 的一階偏導數連續，且點 (x₀,y₀) 上 Fᵧ≠0，隱函數定理保證附近 F=C 可唯一寫成一個可微 y(x)，導數是 −Fₓ/Fᵧ。若 Fᵧ=0，這個判準不適用；可能改寫成 x(y)，也可能是奇異點，需要另外分析。

例如 F=x²+2y² 的 C=0 等高集合只有原點，並不是定義在一段開區間上的 y(x)。不能見到 F=C 便自動把每個 C 都叫一條解曲線。指定區域、初始點與局部分支，仍然是解的一部分。

練習：偏導、分支、切線

偏導數、分支、切線三件事分開檢查，答案才算完整。

1. F=x²y+3y² 的全微分是什麼？

看完整推理

固定 y，Fₓ=2xy；固定 x，Fᵧ=x²+6y。因此 dF=2xy dx+(x²+6y)dy。若沿 F=C 且 x²+6y≠0，y′=−2xy/(x²+6y)。

2. 主例改成 y(0)=−2，解與區間？

看完整推理

仍有 C=8，但選 y=−√((8−x²)/2)。它同樣滿足 y′=−x/(2y)，I=(−√8,√8)。初始條件選分支，而不是把積分常數改成負的 8。

3. 在橢圓 (2,√2) 上，斜率為何？

看完整推理

Fₓ=4、Fᵧ=4√2，故 y′=−4/(4√2)=−1/√2。梯度 (4,4√2) 與切向量 (1,−1/√2) 的內積是 4−4=0。這核對了方向，也避免把梯度誤當切線。

如果 F 沒有直接給你

如果 F 不是一眼看得出來的，就得用兩份偏導數把它拼回去。

這一頁從 F 出發得到微分方程。真正求解時常反過來：只知道 M、N，要自己找 F。下一頁從偏積分中的「常數」開始，把這個反向流程補齊。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。