特徵方程Characteristic equations

先做微分，再看見多項式

指數函數微分之後只是多乘一個常數。這個特性讓微分方程整個變成一條普通的代數方程。

先備是二階線性結構及指數函數導數。對常數 a、b、c，且 a≠0 的齊次方程 ay″+by′+cy=0，嘗試 y=eʳˣ：

1. 寫出導數

   y′=r eʳˣ
   y″=r² eʳˣ

   r 是待求常數，x 才是自變數。

2. 代回原式

   (ar²+br+c)eʳˣ=0

   同一個指數因子能被提出，是常係數與指數函數結構配合的結果。

3. 使用非零因子

   P(r)=ar²+br+c=0

   eʳˣ 對有限 x 不為零，所以這個候選成立，當且僅當 r 是 P 的根。

P(r)=0 稱為特徵方程。它找的是特定候選形狀的成長率，不是把所有函數的微分都替換成一個數字。零函數當然也是齊次解；它包含在後面的常數全為零情況中。

相異實根，給出兩個獨立方向

兩個不同的根，就給出兩條方向不同的解，剛好夠組成基底。

若 P 有兩個不同實根 r₁、r₂，已找到 y₁=e^r₁x、y₂=e^r₂x。計算它們的 Wronskian：

因此兩者獨立；前頁的定理把「找到兩條」提升為「足以表示全部」：

常係數在整個實軸連續，所以這個解族適用於全實軸。若兩根相同，剛才的 W 會變成零，兩份相同的指數不會神奇地提供第二個方向；這是下一頁需要另找解的原因。

主例：兩個衰減率，配出指定初值

完整算一次：解特徵方程、寫出通解、再用兩個初值把兩個常數定下來。

解 y″+3y′+2y=0，並要求 y(0)=1、y′(0)=0：

1. 求根

   r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0
   r₁=−1，r₂=−2

   根相異，故 e⁻ˣ 與 e⁻²ˣ 是基底。

2. 寫下解與導數

   y=C₁e⁻ˣ+C₂e⁻²ˣ
   y′=−C₁e⁻ˣ−2C₂e⁻²ˣ

   常數不能只從位置決定；還有斜率條件。

3. 解初值系統

   C₁+C₂=1
   −C₁−2C₂=0
   C₁=2，C₂=−1

   得到 y=2e⁻ˣ−e⁻²ˣ。負係數不是錯誤；線性組合允許減去一個成分。

完整代回一次：

在 x=0，y=2−1=1、y′=−2+2=0。對 x>0，y′=2e⁻ˣ(e⁻ˣ−1)<0，所以雖然一開始斜率為零，之後仍向下衰減；這和一條恆定函數不同。

根的正負，怎樣變成曲線走勢？

根是負的就衰減，是正的就成長。但這說的是「有沒有那個方向」，不是每條解都一樣。

單一 eʳˣ 在 x→+∞ 時：r<0 衰減、r=0 為常數、r>0 成長。主例兩根都負，因此所有解都趨近零，但不保證每條解都單調；係數與初值也會影響中間過程。

比較 y″−y=0，根是 ±1，一般解 A eˣ+B e⁻ˣ。有一個正根表示存在成長方向，不表示每一條解都成長：如果 A=0，該條解仍衰減。若 y(0)=1、y′(0)=−1，恰好選到 y=e⁻ˣ；若初始斜率多一個小量 ε，A 就變成 ε/2，長期會出現成長項。這裡是在描述解的方向，不是測試某個真實系統的安全範圍。

係數會變時，代數條件也會變

變係數時，固定指數候選未必可用。這裡的 y″ + xy = 0 就沒有這種解。

對 y″+xy=0，代入 eʳˣ 得 (r²+x)eʳˣ=0。不存在固定 r 能讓 r²+x 在一個開區間恆為零。因此此處不是「特徵方程還沒解好」，而是這個固定指數候選不適用。一般變係數方程要使用其他結構或方法，不能把 x 當作某個常數算完就稱為整段解。

還要分清楚：r 是特徵方程的根，C₁、C₂ 才是由初值選定的自由常數。不能拿初始位置去修改 r，因為那會改變原方程允許的形狀。

試著把代數根帶回微分方程

代數的根算完之後，要帶回微分方程實際驗一次，不能只信公式。

下一頁：兩根合併，第二條解去哪了？

兩個根合併時，這個方法暫時只找到一條獨立解；第二條要另外求。

相異實根的 Wronskian 已指出真正的問題：當 r₂ 趨近 r₁，兩條曲線的形狀變得重複。下一頁會從代換推導 xeʳˣ，並用 Euler 公式把複根轉成可畫出的實函數。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Constant-coefficient second-order linear ODEs：核對指數代入與根的分類。
• Lebl · Second-order linear ODEs：核對獨立解與初值條件。