Bernoulli方程Bernoulli equations

先辨認哪個冪次造成非線性

右邊的 yⁿ 在 n≠0、1 且 q 不恆為零時帶來非線性；不同的冪次也提供了換元線索。

右側的 yⁿ 讓方程一般不再線性。但它與左側的 y 只差一個冪次，這給了代換的線索。若 n=0，按常數項 1 解讀右側，方程已是 y′+py=q；若 n=1，移項得 y′+(p−q)y=0。這兩種情況直接用線性法。

以下假設 n≠0、1。對任意實數 n，先限制 y>0 是安全而清楚的選擇，因為 yⁿ 可用 e^{nln y} 定義。整數或某些有理冪也允許負值，但要依原式選擇實數分支，不能無條件套同一個反代換。

代換不是猜完就算：把鏈鎖法則寫出來

換元不能猜完就用。把鏈鎖法則實際寫出來，順便看清楚哪些值被排除掉了。

1. 在非零分支上除以 yⁿ

   y⁻ⁿy′ + p(x)y¹⁻ⁿ = q(x)

   這一步把零值排除，所以先記下：零解稍後回到原式單獨判斷。

2. 把重複的冪次設為新變數

   v = y¹⁻ⁿ

   v 也是 x 的函數，不是常數。要微分時必須連同 y(x) 的導數一起算。

3. 用鏈鎖法則接上導數

   v′ = (1−n)y⁻ⁿy′

   因此第一項 y⁻ⁿy′ 等於 v′/(1−n)，不能漏掉係數 1−n。

4. 整理成新的線性方程

   v′ + (1−n)p(x)v = (1−n)q(x)

   現在的未知量是 v，p、q 仍只依賴 x。用積分因子求 v，再回到所選的 y 分支。

解出 v 並不是結束。形式上 y=v^1/(1−n)，但這個式子只有在你選的實數分支內才代表原本的 y；例如 v=y² 會失去 y 的正負資訊。初始值、反代換、分母零點，都要再檢查。

完整例題：y′+y=y²，y(0)=1/2

完整走一次：除以 yⁿ、換成新變數 v、用線性方法解 v、再換回 y。

1. 非零分支選 v=1/y

   v′=−y′/y²

   這裡 n=2，所以 1−n=−1。

2. 除以 y² 並換元

   y′/y²+1/y=1 ⇒ −v′+v=1

   再乘 −1 得 v′−v=−1。注意右側與 v 項的符號一起改變。

3. 解線性方程

   μ=e⁻ˣ；(e⁻ˣv)′=−e⁻ˣ

   積分得 e⁻ˣv=e⁻ˣ+C，故 v=1+Ceˣ。

4. 用初值並反代換

   v(0)=2 ⇒ C=1；y=1/(1+eˣ)

   分母對所有 x 都正，初值解在整條實數軸成立。

5. 直接檢查原來的非線性方程

   y′=−eˣ/(1+eˣ)²

   y′+y=[−eˣ+(1+eˣ)]/(1+eˣ)²=1/(1+eˣ)²=y²，且 y(0)=1/2。

從新變數看，v=1+eˣ 逐漸增大；從原變數看，y 是它的倒數，逐漸趨零。圖的走勢與代數這樣接上，而不是單靠圖去猜解。

零解、負解、有限區間，都要回來找

除法排除掉的解要回頭找。零解、負解、有限區間，三件事都要交代。

本例 y≡0 的確滿足 0+0=0，但 v=1/y 永遠不能表示它。另一方面 y≡1 已包含在 C=0 的非零解族中；列出平衡解有助於辨認，但不能因此說兩個都被代換遺失。

若 y(0)=2，則 v(0)=1/2、C=−1/2：

分母在 x=ln2 為零。零點右邊的公式雖能算出數字，卻是另一個連通區間的解，不能穿過無限大延續這個初值問題。圖上只畫往前的部分 0≤x<ln2。

若 y(0)=−1，則 C=−2，y=1/(1−2eˣ)，含初值的最大區間為 (−ln2,∞)。因 n=2 是整數，此負分支有意義；不是因為「所有實數冪都允許負 y」。

練習：先說代換允許哪一段

先說清楚「這個換元在哪一段有效」，再開始算。

從未知函數換元，轉向尋找不變量

到目前為止都在處理 y(x)。下一頁改看整個平面上的 F(x, y)。

目前的方法都在處理 y(x)。下一頁把視野打開到平面上的 F(x,y)：如果沿著解曲線 F 永遠不變，能否反過來找出微分方程的解？

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Substitution · Bernoulli equations：冪次代換與 n=0、1 的線性例外。
• Jiří Lebl · Linear equations and the integrating factor：線性解公式與齊次／特解結構。