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數學 · 常微分方程 · 08

自治微分方程Autonomous differential equations

如果變化率只看當下狀態，長期走勢能先讀出來嗎？

從方向場縮成一條相線：先找不動的狀態，再看它們兩旁的箭頭。用 logistic 族群模型把分離法、初值與穩定性接在一起。

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起點超過容納量，曲線會被截斷嗎？

K 固定為 100 個體。先預測 N₀=0、N₀=100 與 N₀>100 的走勢，再調整初值與 r。

精確解（綠色實線）邊界／參考（藍色虛線）
N′=rN(1−N/K)，r>0、K>0。N=0 與 N=K 為平衡；0<N<K 時增加，N>K 時減少。N₀>0 的解趨向 K，N₀=0 則維持零。
上圖是時間軌跡：橫軸 t（天），縱軸 N（個體）。綠線是模型的精確解；藍色虛線為 K=100。下方相線是不同的圖。

相線：沿 N 軸表示 N 隨時間增加／減少；水平位置不是時間。

00 < N < K →K← N > K
N(4 天) · 模型值
初始方向／平衡

自治：右側不明顯依賴時間

如果變化率只看「現在有多少」、不看「現在幾點」，這條方程就叫自治。同樣的狀態，永遠得到同樣的走法。

一階自治微分方程形如 y′=g(y)：斜率只由當下 y 決定，右側沒有顯式出現 x。若自變數是時間 t，便寫 dy/dt=g(y)。自治不表示 y 不變，而是同一狀態在不同時間遇到相同的變化規則。

熟悉的 y′=y 是自治；y′=2xy 不是，因為即使 y 相同，換 x 斜率仍可能改變。一階自治方程也是可分離的一種（f(x)=1），但現在先不急著積分。

若 g(y*)=0，常數函數 y(t)=y* 滿足方程，稱為平衡解。這裡 y* 是固定值，星號只用來標記平衡，沒有微分的意思。方向場在同一高度處有相同斜率，因此可以把資訊壓成沿 y 軸的一條相線。

logistic 模型：每個符號先有單位

模型要先講清楚每個字母代表什麼、單位是什麼，算出來的數字才知道在說什麼。

dN/dt = rN(1−N/K)t：天；N(t)：個體數的連續近似；r>0：天⁻¹；K>0：個體。

rN 是低密度時的比例成長項，無因次因子 (1−N/K) 使每個個體的淨成長率隨密度增加而下降。本頁固定 r、K，不含季節、外來移入、離散個體或時間延遲，物理解釋限 N≥0。

左右單位都是個體／天。當 N≪K，因子接近 1，因此短期近似 N′≈rN；接近 K 時淨成長趨近 0。這是一個理想化模型，不是所有真實族群的通則，也不把一條平滑曲線當成實地預測。

K 不是禁止超越的硬牆。初值可以大於 K；模型會預測它往下降。程式若直接把 N 截在 K，就改掉了方程。

不用求解，先把方向讀完

不用解出公式也能先知道往上還是往下：把變化率的正負標在一條數線上就夠了。

  1. 令右側為零

    rN(1−N/K)=0 ⇒ N=0 或 N=K

    r>0、K>0，所以有這兩個平衡。

  2. 測試兩個平衡之間

    0<N<K ⇒ N′>0

    r、N、1−N/K 都為正，N 隨時間增加。相線箭頭朝較大的 N。

  3. 測試 K 的上方

    N>K ⇒ N′<0

    1−N/K 為負，其餘為正，所以 N 減少，箭頭朝 K。

  4. 在平衡上代回

    N₀=0 ⇒ N(t)=0；N₀=K ⇒ N(t)=K

    解不會因為旁邊有箭頭就自行離開平衡。此多項式右側具有局部唯一性，阻止別的解穿越平衡解。

相線只表示狀態的方向，不是 N 對時間的完整曲線，也沒有提供花多久才接近 K。箭頭的長度不表示速度大小。圖上哪個區段亮起只標目前初始狀態；上方時間軌跡才顯示 t 與 N 的對應。

用分離法核對相線的預測

相線已告訴我們走勢；再用解析式核對，還能算出指定時間的值。

先保留 N=0 與 N=K。對其他解，設無因次狀態 z=N/K；K 是常數，因此 z′=N′/K=r z(1−z)。這樣對數的輸入也保持無因次。

  1. 分離非平衡解

    z′/[z(1−z)]=r

    這一步只在 z≠0、1 的區段。

  2. 拆分積分

    1/[z(1−z)] = 1/z + 1/(1−z)

    通分後分子 (1−z)+z=1。

  3. 積分，注意第二項的負號

    ln|z/(1−z)|=rt+C

    ∫1/(1−z) dz=−ln|1−z|。合併成比例的對數。

  4. 還原符號與代數

    z/(1−z)=B ert

    B 可正可負，吸收一段解中比例的固定符號；B≠0。解出 z=B e^(rt)/(1+B e^(rt))。

  5. 代回初值並改寫

    N(t)=K/[1+(K/N₀−1)e−rt]

    N₀=N(0)>0。對 N₀≠K 由前式整理；N₀=K 雖在除法被排除，代回可確認同一最後公式仍適用。N₀=0 另列零解。

取 K=100、r=1、N₀=20。比值 K/N₀−1=4，所以：

N(t)=100/(1+4e−t)

  1. 初值檢查

    N(0)=100/(1+4)=20

    符合指定個體數。

  2. 方程檢查

    N′=400e−t/(1+4e−t)²

    右側 N(1−N/100) 同樣為這個式子；微分負指數及分母各帶一個負號，最後為正。

  3. 有效範圍與極限

    t≥0：分母 > 0；t→∞：N(t)→100

    一般 N₀>0 時，令 A=K/N₀−1>−1，1+A e^(−rt) 對 t≥0 始終為正。故本頁所有非負初值都能向未來延伸。

即使 N₀>K，A 也只是落在 (−1,0)，未來分母仍為正，曲線由上方接近 K。若往過去延伸，有些初值會碰到有限時間奇點；本頁的物理觀察與滑桿限定 t≥0，不宣稱所有初值都在整條實數軸有效。

穩定與靠近，是兩層敘述

穩定是從夠近的地方出發，之後一直保持接近；若還會趨近平衡點，才叫漸近穩定。

平衡值穩定，意思是起點足夠接近時，未來能一直保持接近；若再會隨時間趨向該平衡，便稱漸近穩定。判斷一律指向時間增加的方向，並指定所研究的狀態範圍。

在 N≥0 的 logistic 模型中，K 的兩側箭頭都朝它，公式也確認任何 N₀>0 趨向 K。接近 K 的解會保持在初值與 K 之間，因此 K 漸近穩定。0 則不穩定：再小的正初值，最終也會遠離零、靠近 K；但恰為 0 的解仍永遠是 0。

可輔助計算 g′(N)=r(1−2N/K)，所以 g′(0)=r>0、g′(K)=−r<0。這個導數判別只對夠光滑且 g′≠0 的平衡提供簡單結論；若 g′=0，要回去看符號等資訊。例：y′=−y³ 的零平衡兩側都向零，雖然 g′(0)=0，仍可證漸近穩定。

真實族群可能因延遲或外部因素振盪；在這個一階、光滑、自治模型中，正解會單調靠近 K，不會在 K 兩側來回穿越。這是模型假設下的結論。

相線和公式，互相核對

相線負責方向，公式負責數值。兩個工具互相檢查，比只信一個安全。

1. K=100、r=0.5、N₀=150，初始斜率與長期值？

看完整推理

N′(0)=0.5×150×(1−1.5)=−37.5 個體／天。初值高於 K，所以先下降；精確式 N=100/[1−(1/3)e^(−0.5t)] 的分母從 2/3 趨向 1，N 從 150 趨向 100。沒有硬性裁切。

2. 把 r 加倍，平衡值會變成 2K 嗎？

看完整推理

不會。右側等於零仍在 N=0、K；公式只把 e^(−rt) 的時間尺度壓縮。由同一 N₀ 出發，達到同一中間高度所需時間減半（非平衡解）。

3. y′=−y³ 的 g′(0)=0，可以宣稱不穩定嗎？

看完整推理

不能。y>0 時 y′<0，y<0 時 y′>0，都朝零。由分離法可得 y(t)=y₀/√(1+2y₀²t)，t≥0，含 y₀=0；代回成立，且保持靠近、趨向零。所以零是漸近穩定，導數判別失效不等於不穩定。

把「看狀態」的經驗帶到代換

把「先看狀態、再算式子」的習慣，帶到下一種需要換元的方程。

自治方程讓我們從局部斜率讀出平衡與長期走勢。下一頁的斜率不只看 y，而是看比例 y/x；把這個比例當新未知量，就能把一種新形式帶回已學過的分離法。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。